江西省八所重点中学2019-2020学年高三理数5月联考试卷

试卷更新日期：2020-07-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若 $z = \frac{i^{2} + 5 i}{1 + i}$ ，则z的虚部是（）

A、-2 B、 $3 i$ C、3 D、 $2 i$

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2. 已知集合 $A = {x | x \in Z, - x^{2} + x + 2 > 0}$ ，则集合A的子集个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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3. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 13 x + 6, x < 0 \\ 2^{x}, x \geq 0 \end{array}$ 若角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过 $P (- 5, 12)$ ，则 $f (\cos α) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 函数 $f (x) = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} \cdot \cos x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 非零向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = \sqrt{7} | \overset{⇀}{a} |$ 且 $（ \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} ） \cdot \overset{⇀}{a} = 0$ ， $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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6. 执行如图所示的程序框图，正确的是（）

A、若输入a，b，c的值依次为1，2，4，则输出的值为5 B、若输入a，b，c的值依次为2，3，5，则输出的值为7 C、若输入a，b，c的值依次为3，4，5，则输出的值为15 D、若输入a，b，c的值依次为2，3，4，则输出的值为10

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7. 已知命题p： $\forall x \in [0 ， π]$ ，使得 $\sin x < a$ ，命题q： $\exists x_{0} \in (\frac{1}{2} ， 3)$ ， $\frac{1}{x} + 1 > a$ ，若 $p \land q$ 为真命题，则a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{4}{3})$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(1 ， \frac{4}{3})$

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8. 在区间 $[0 ， 1]$ 上随机取两个数x，y，记 $p_{1}$ 为事件“ $x + y \leq \frac{1}{2}$ ”的概率， $p_{2}$ 为事件“ $x y \leq \frac{1}{2}$ ”的概率，则 $\frac{p_{2}}{p_{1}} =$ （）

A、 $4 \ln 2$ B、 $\frac{1}{2} (1 + \ln 2)$ C、1 D、 $4 (1 + \ln 2)$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ，若存在两项 $a_{n}$ ， $a_{m}$ ，使得 $a_{n} \cdot a_{m} = 64$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{16}{n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{21}{5}$ B、 $\frac{25}{6}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{17}{3}$

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10. 已知 $A - B C D$ 是球O的内接三棱锥，球O的半径为2，且 $A C = 4$ ， $B D = 2$ ， $∠ A C D = ∠ A C B = \frac{π}{3}$ ，则点A到平面 $B C D$ 的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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11. 如图， $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ 分别为双曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a， $b > 0$ ）的左､右焦点，过点 $F_{1}$ 作直线l，使直线l与圆 ${(x - c)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ 相切于点P，设直线l交双曲线 $Γ$ 的左右两支分别于A､B两点（A､B位于线段 $F_{1} P$ 上），若 $| F_{1} A | = \frac{3}{2} | A B |$ 且 $| B P | = \frac{1}{2} | A B |$ ，则双曲线 $Γ$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{19}$ B、 $\sqrt{20}$ C、 $\sqrt{21}$ D、4

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12. 已知 $x = 0$ 是函数 $f (x) = x (a x - \tan x)$ 的极大值点，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $[0 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知直线 $l_{1}$ ： $k x + y + 3 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + k y + 3 = 0$ ，且 $l_{1} / / l_{2}$ ，则k的值.

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14. 在 ${(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为.

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15. 定义新运算： $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $| \begin{array}{l} n & n + 1 \\ a_{n} & a_{n + 1} \end{array} | = 1$ ，若对任意的正整数n，不等式 $\frac{2 a_{n + 1}}{n + 1} \geq m$ 总成立，则实数m的取值范围为.

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三、双空题

16. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A P B = 120 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 4$ 则三棱锥体积最大值为. $| P C |$ 取值范围为.

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四、解答题

17. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列， $2 \cos (A - C) - 2 \sin (\frac{π}{2} + B) = 1$ ，延长 $B C$ 至D使 $B D = 3$ .

(1)、求 $∠ B$ 的大小；

(2)、求 $\vec{A C} \cdot \vec{C D}$ 的取值范围.

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18. 如图所示，直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = B C = 2 A D = 2$ ，四边形 $E D C F$ 为矩形， $C F = \sqrt{3}$ ，平面 $E D C F ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $D F / /$ 平面 $A B E$ ；

(2)、在线段 $D F$ 上是否存在点P，使得直线 $B P$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，若存在，求出线段 $B P$ 的长，若不存在，请说明理由.

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19. 年前某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如下频率分布直方图.

(1)、求这50家食品生产企业考核成绩的平均数 $\bar{x}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数a（精确到0.01）

(2)、该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在 $[92 ， 100]$ 的企业数为X，求X的分布列与数学期望

(3)、若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ 其中 $μ$ 近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ，经计算得 $s^{2} = 27.68$ ，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有多少家?（结果保留整数）.
附参考数据与公式：

$\sqrt{27.68} \approx 5.26$ $X - N (μ ， σ^{2})$

则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ . $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过右焦点且垂直于长轴的直线与椭圆C交于P，Q两点，且 $| P Q | = \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线 $O A$ ， $O B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ （以O为坐标原点），M是 $O A$ 的中点，连接 $B M$ 并延长交椭圆C于点N，求 $\frac{| B N |}{| B M |}$ 的值.

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21. 设函数 $f (x) = - a^{2} \ln x + x^{2} - a x$ （ $a \in R$ ）.

(1)、试讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $φ (x) = 2 x + (a^{2} - a) \ln x$ ，记 $h (x) = f (x) + φ (x)$ ，当 $a > 0$ 时，若函数 $y = h (x)$ 与函数 $y = m$ 有两个不同交点 $C (x_{1} ， m)$ ， $D (x_{2} ， m)$ ，设线段的中点为 $E (s ， m)$ ，试问s是否为 $h^{'} (s) = 0$ 的根?说明理由.

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22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{k^{2}} + k^{2} \\ y = \frac{1}{k} - k \end{array}$ （k为参数），将曲线C的图像按 ${\begin{array}{l} x^{'} = x - 2 \\ y^{'} = 2 y \end{array}$ 换得到曲线E.

(1)、求曲线E的普通方程；

(2)、直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （t为参数），直线与曲线E相交于点A､B，点 $P (1 ， 0)$ ，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 值.

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23.

(1)、已知a，b，c都是正实数，证明： $\frac{b}{a} + \frac{a}{b + c} + \frac{c}{b} \geq 2$ ；

(2)、已知a，b，c，x，y，z都是正实数，且满足不等式组： ${\begin{array}{l} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 4 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 \\ a x + b y + c z = 6 \end{array}$ ，求 $\frac{a + b + c}{x + y + z}$ 的值.

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