河南省焦作市2020届高三下学期理数第四次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-07-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 > 0}$ ， $B = {y | y = x - \frac{8}{x}, x > 4}$ ．则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(- 2, 3]$ C、 $(- 2, + \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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2. 已知复数 $z = \frac{5 i^{2}^{019}}{i - 2}$ ，则其共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. $(x^{4} - 2) {(x^{3} - \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式的常数项为（）

A、9 B、8 C、-1 D、-7

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4. “三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准，取此琴强长度的 $\frac{2}{3}$ 得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的 $\frac{4}{3}$ 为第三根琴弦，第三根琴弦长度的 $\frac{2}{3}$ 为第四根琴弦．第四根琴弦长度的 $\frac{4}{3}$ 为第五根琴弦．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“官、商、角（jué）、微（zhǐ）、羽”，则“角＂和“徵”对应的琴弦长度之比为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{81}{64}$ C、 $\frac{32}{27}$ D、 $\frac{9}{8}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{\cos x - 2 x^{2}}{2 x - \sin x}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} - 1 + \log_{2} (- 2 x), x < 0 \\ g (x), x > 0 \end{array}$ 为奇函数，则 $f (g (2)) + g (f (- 8)) =$ （）

A、 $2 + \log_{2} 3$ B、1 C、0 D、 $- \log_{2} 3$

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8. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} a_{11} + 2 a_{5} a_{9} + a_{3} a_{13} = 25$ ，则 $a_{1} a_{13}$ 的最大值是（）

A、25 B、 $\frac{25}{4}$ C、5 D、 $\frac{2}{5}$

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9. 如图．四边形 $A B C D$ 是正方形，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A D$ ， $C D$ 上， $△ B E F$ 是等边三角形，在正方形 $A B C D$ 内随机取一点，则该点取自 $△ B E F$ 内的概率为（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $2 \sqrt{3} - 3$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $A A_{1} = 2 A B$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $A D$ ， $A B$ ， $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $E F$ 与 $G H$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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11. 记双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，以F为圆心，r为半径作圆 $F$ ，以 $C^{'} (0 ， m)$ 为圆心， $2 r$ 为半径作圆 $C^{'}$ ．若圆 $F$ 与圆 $C^{'}$ 仅有3条公切线，且其中2条恰为双曲线C的渐近线，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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12. 抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (0 < p < 3)$ 在点 $A (3 ， y_{1})$ 处的切线交准线于B，且与y轴交于D，F为C的焦点．若 $△ B D F$ 的面积为 $\frac{7 p}{15}$ ，则 $p =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (3, - 1)$ ， $\vec{b} - \vec{a} = (- 4, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为．

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14. 某一批花生种子的发芽率为 $p$ ，设播下10粒这样的种子，发芽的种子数量为随机变量 $X$ ．若 $D (X) = \frac{12}{5}$ ，则 $p =$ ．

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15. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = \sqrt{3}$ ， $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = a_{n}^{2} - a_{n - 1}^{2} (n \geq 2)$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n} + a_{n + 1}}}$ 的前60项和．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{6} x^{3} - m x + 3$ ， $g (x) = - 5 x + 4 \ln x$ ，若函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 与 $g (x)$ （ $x \in [1 ， 9]$ ）的图象上至少存在一对关于 $x$ 轴对称的点，则实数 $m$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $b = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ ．
（Ⅰ） $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，若 $A D = \sqrt{7}$ ，求c的值；

（Ⅱ）若 $a = 4 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 如图1在正方形 $A B C P$ 中， $A B = 4$ ，D是 $C P$ 的中点，把 $△ A D P$ 沿 $A D$ 折叠，使 $△ P A B$ 为等边三角形，得到如图2所示的几何体．

（Ⅰ）证明： $A B ⊥ P D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值．

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19. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段 $A B$ 的垂直平分线过定点 $(\frac{1}{3}, 0)$ ，求k的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x - 4 a^{2} \ln x$ ，其中 $a \in R$
（Ⅰ）若 $a \neq 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）若 $a = 0$ ，当 $x \geq 1$ 时， $x \ln x - m [f (x) - 1] \leq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 无线电技术在航海中有很广泛的应用，无线电波可以作为各种信息的载体．现有一艘航行中的轮船需要与陆地上的基站进行通信，其连续向基站拍发若干次呼叫信号，每次呼叫信号被基站收到的概率都是0.2，基站收到呼叫信号后立即向轮船拍发回答信号，回答信号一定能被轮船收到．
（Ⅰ）若要保证基站收到信号的概率大于0.99，求轮船至少要拍发多少次呼叫信号．

（Ⅱ）设（Ⅰ）中求得的结果为 $n$ ．若轮船第一次拍发呼叫信号后，每隔5秒钟拍发下一次，直到收到回答信号为止，已知该轮船最多拍发 $n$ 次呼叫信号，且无线电信号在轮船与基站之间一个来回需要16秒，设轮船停止拍发时，一共拍发了 $X$ 次呼叫信号，求 $X$ 的数学期望（结果精确到0.01）．

参考数据： $2^{10} \approx 1.05 \times 10^{6}$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 2 + 3 \cos φ ， \\ y = 1 + 3 \sin φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ \cos θ - 2 ρ \sin θ - 5 = 0$ ．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）若与l平行的直线 $l^{'}$ 与曲线 $C$ 交于A，B两点．且在x轴的截距为整数， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{5}$ ，求直线 $l^{'}$ 的方程．

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23. 已知函数 $f (x) = | 5 x - 3 | - | 5 x - 2 |$ ．
（Ⅰ）求不等式 $f (x) > 3 - 4 x$ 的解集；

（Ⅱ）若 $a$ ， $b \in R^{+}$ ， $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 2$ ，不等式 $2 a + b \geq f (x) + 2 m^{2} + 1$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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