山东省日照市2020年高三数学一模试卷

试卷更新日期：2020-07-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $z (1 + 2 i) = i$ ，则复数z在复平面内对应点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 2 x < 0}$ ， $N = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、∅ B、 ${1}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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3. 南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为 $V_{1} ， V_{2}$ ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，则“ $S_{1} ， S_{2}$ 总相等”是“ $V_{1} ， V_{2}$ 相等”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $l : a x - y + 4 = 0$ ．若直线 $l$ 上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，则a的取值范围（）

A、 $(- \infty, - 3] \cup [3, + \infty)$ B、 $[- 3, 3]$ C、 $(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, + \infty)$ D、 $[- \sqrt{3}, \sqrt{3}]$

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5. 当 $a > 1$ 时，在同一坐标系中，函数 $y = a^{- x}$ 与 $y = - \log_{a} x$ 的图像是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $f (x) = x \cdot 2^{| x |}$ ， $a = f ({log}_{3} \sqrt{5})$ ， $b = f ({log}_{3} \frac{1}{2})$ ， $c = f (\ln 3)$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > a > b$

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7. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin ω x$ 和 $g (x) = \sqrt{2} \cos ω x$ （ $ω > 0$ ）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到 $y = g (x)$ 的图象，只需把 $y = f (x)$ 的图象（）

A、向左平移1个单位 B、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位 C、向右平移1个单位 D、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位

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8. 如图，在直角坐标系 $x O y$ 中，一个质点从 $A (a_{1} ， a_{2})$ 出发沿图中路线依次经过 $B (a_{3} ， a_{4})$ ， $C (a_{5} ， a_{6})$ ， $D (a_{7} ， a_{8})$ ， $\dots$ ，按此规律一直运动下去，则 $a_{2017} + a_{2018} + a_{2019} + a_{2020} =$ （）

A、2017 B、2018 C、2019 D、2020

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二、多选题

9. 为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，测量了他们的体重（单位：千克）．健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过半年的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示，对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）

A、他们健身后，体重在区间 $[90 ， 100)$ 内的人数不变 B、他们健身后，体重在区间 $[100 ， 110)$ 内的人数减少了2个 C、他们健身后，体重在区间 $[110 ， 120)$ 内的肥胖者体重都有减轻 D、他们健身后，这20位肥胖着的体重的中位数位于区间 $[90 ， 100)$

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10. 为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，若只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（）

A、该班选择去甲景点游览 B、乙景点的得票数可能会超过9 C、丙景点的得票数不会比甲景点高 D、三个景点的得票数可能会相等

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11. 若定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (0) = - 1$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $f^{'} (x) > m > 1$ ，则下列成立的有（）

A、 $f (\frac{1}{m}) > \frac{1 - m}{m}$ B、 $f (\frac{1}{m}) < - 1$ C、 $f (\frac{1}{m - 1}) > \frac{1}{m - 1}$ D、 $f (\frac{1}{m - 1}) < 0$

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12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{n} - \frac{y^{2}}{n} = 1 (n \in N^{*})$ ，不与x轴垂直的直线l与双曲线右支交于点B，C，（B在x轴上方， $C$ 在 $x$ 轴下方），与双曲线渐近线交于点A，D（A在x轴上方），O为坐标原点，下列选项中正确的为（）

A、 $| A C | = | B D |$ 恒成立 B、若 $S_{△ B O C} = \frac{1}{3} S_{△ A O D}$ ，则 $| A B | = | B C | = | C D |$ C、 $△ A O D$ 面积的最小值为1 D、对每一个确定的 $n$ ，若 $| A B | = | B C | = | C D |$ ，则 $△ A O D$ 的面积为定值

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{m} = (a, - 1)$ ， $\vec{n} = (- 1, 3)$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $a =$ ．

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14. ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为．

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15. 若点M在平面 $α$ 外，过点M作面 $α$ 的垂线，则称垂足N为点M在平面 $α$ 内的正投影，记为 $N = f_{α} (M)$ .如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，记平面 $A B_{1} C_{1} D$ 为 $β$ ，平面 $A B C D$ 为 $γ$ ，点 $P$ 是棱 $C C_{1}$ 上一动点（与 $C ， C_{1}$ 不重合）， $Q_{1} = f_{γ} [f_{β} (P)]$ ， $Q_{2} = f_{β} [f_{γ} (P)]$ .给出下列三个结论：①线段 $P Q_{2}$ 长度的取值范围是 $[\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ；②存在点 $P$ 使得 $P Q_{1} //$ 平面 $β$ ；③存在点 $P$ 使得 $P Q_{1} ⊥ P Q_{2}$ .其中正确结论的序号是.

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四、双空题

16. 直线 $l$ 过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F (1, 0)$ ，且与C交于M，N两点，则 $p =$ ， $\frac{| M F |}{9} - \frac{1}{| N F |}$ 的最小值是．

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五、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $c \cos A + a \cos C = a$ ．

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、若 $a = 1$ ， $c = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 在① $a_{2} + a_{3} = a_{5} - b_{1}$ ，② $a_{2} \cdot a_{3} = 2 a_{7}$ ，③ $S_{3} = 15$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d > 0$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，若_______，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{2} = \frac{1}{3}$ ， $a_{n} b_{n + 1} = n b_{n} - b_{n + 1}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，已知四边形 $A B C D$ 为等腰梯形， $B D E F$ 为正方形，平面 $B D E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D / / B C ， A D = A B = 1$ ， $∠ A B C = 60 °$ .

(1)、求证：平面 $C D E ⊥$ 平面 $B D E F$ ；

(2)、点 $M$ 为线段 $E F$ 上一动点，求 $B D$ 与平面 $B C M$ 所成角正弦值的取值范围.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{2}$ 为圆心过椭圆左顶点M的圆与直线 $3 x - 4 y + 12 = 0$ 相切于N，且满足 $\vec{M F_{1}} = \frac{1}{2} \vec{F_{1} F_{2}}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过椭圆 $C$ 右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ，问 $△ F_{1} A B$ 内切圆面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由．

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21. 每年的3月12日是植树节，某公司为了动员职工积极参加植树造林，在植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满30棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满50棵获得一次乙箱内摸奖机会，每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中 $a$ 个红球， $b$ 个黄球，5个黑球，乙箱内有4个红球和6个黄球，每次摸一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．

(1)、经统计，每人的植树棵数 $X$ 服从正态分布 $N (35 ， 25)$ ，若其中有200位植树者参与了抽奖，请估计植树的棵数 $X$ 在区间 $(30 ， 35]$ 内并中奖的人数（结果四舍五入取整数）；
附：若 $X \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6827$ ，

$P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9545$ ．

(2)、若 $a = 2$ ，某位植树者获得两次甲箱内摸奖机会，求中奖金额 $Y$ （单位：元）的分布列；

(3)、某人植树100棵，有两种摸奖方法，
方法一：三次甲箱内摸奖机会；

方法二：两次乙箱内摸奖机会；

请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大．

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22. 已知函数 $f (x) = (x + b) (e^{2 x} - a) (b > 0)$ 在点 $(- \frac{1}{2} ， f (- \frac{1}{2}))$ 处的切线方程为 $(e - 1) x + e y + \frac{e - 1}{2} = 0$ ．

(1)、求a，b；

(2)、函数 $f (x)$ 图像与x轴负半轴的交点为P，且在点P处的切线方程为 $y = h (x)$ ，函数 $F (x) = f (x) - h (x)$ ， $x \in R$ ，求 $F (x)$ 的最小值；

(3)、关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $x_{2} - x_{1} \leq \frac{1 + 2 m}{2} - \frac{m e}{1 - e}$ ．

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