山东省淄博市2020届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2020-07-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 = 0}$ ， $B = {x \in Z | | x | \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${1 ， - 2}$ C、 ${- 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， - 2}$

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2. 复数 $(a - i) (2 - i)$ 的实部与虚部相等，其中i为虚部单位，则实数 $a =$ （）

A、3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、-1

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3. 设 $m \in R$ ，命题“存在 $m > 0$ ，使方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实根”的否定是（）

A、任意 $m > 0$ ，使方程 $x^{2} + x - m = 0$ 无实根 B、任意 $m \leq 0$ ，使方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实根 C、存在 $m > 0$ ，使方程 $x^{2} + x - m = 0$ 无实根 D、存在 $m \leq 0$ ，使方程 $x^{2} + x - m = 0$ 有实根

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4. ${(\frac{1}{\sqrt{x}} + m x^{2})}^{5}$ 的展开式中 $x^{5}$ 的系数是-10，则实数 $m =$ （）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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5. 函数 $f (x) = \sin (x + θ)$ 在 $[0 ， π]$ 上为增函数，则 $θ$ 的值可以是（）

A、0 B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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6. 若圆锥轴截面面积为 $2 \sqrt{3}$ ，母线与底面所成角为60°，则体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} π$

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7. 2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院 $A$ ，医生乙只能分配到医院 $A$ 或医院 $B$ ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有（）

A、18种 B、20种 C、22种 D、24种

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8. 在 $Δ A B C$ 中， $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E B}$ ， $| \vec{A B} | = λ | \vec{A C} |$ ，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9 \vec{A O} \cdot \vec{E C}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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二、多选题

9. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和 $2 \sqrt{2}$ ，则 $p$ 的值可以是（）

A、2 B、6 C、4 D、8

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10. 在正方形 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P，Q分别为棱 $B C$ 和棱 $C C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $B C_{1}$ ∥平面 $A Q P$ B、平面 $A P Q$ 截正方体所得截面为等腰梯形 C、 $A_{1} D ⊥$ 平面 $A Q P$ D、异面直线 $Q P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成的角为60°

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11. 居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称 $C P I$ ），是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况.如图为国家统计局于2020年4月公布的2019年3月至2020年3月 $C P I$ 数据同比和环比涨跌幅折线图：

（注：同比 $= \frac{本月 C P I}{去年同月 C P I}$ ，同比涨跌幅 $= \frac{本月 C P I - 去年同月 C P I}{去年同月 C P I} \times 100 %$ ，环比 $= \frac{本月 C P I}{上月 C P I}$ ，环比涨跌幅 $= \frac{本月 C P I - 上月 C P I}{上月 C P I} \times 100 %$ ），则下列说法正确的是（）

A、2019年12月与2018年12月 $C P I$ 相等 B、2020年3月比2019年3月 $C P I$ 上涨4.3% C、2019年7月至2019年11月 $C P I$ 持续增长 D、2020年1月至2020年3月 $C P I$ 持续下降

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12. 已知函数 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，对于任意 $x \in R$ ，都有 $f (x + 4) = f (x) + f (2)$ 成立，当 $x \in [0 ， 2)$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，给出下列结论，其中正确的是（）

A、 $f (2) = 0$ B、点 $(4 ， 0)$ 是函数 $y = f (x)$ 的图象的一个对称中心 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- 6 ， - 2]$ 上单调递增 D、函数 $y = f (x)$ 在 $[- 6 ， 6]$ 上有3个零点

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三、填空题

13. 曲线 $f (x) = \frac{1}{x} + \ln \frac{1}{x}$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程是.

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14. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{n} = \frac{S_{n}}{2} - 1$ ，则 $S_{7} =$ .

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15. 某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下：

满意度评分分组	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100)$	合计
高一	1	3	6	6	4	20
高二	2	6	5	5	2	20

根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分	评分 $<$ 70分	70 $\leq$ 评分 $<$ 90	评分 $\geq$ 90分
满意度等级	不满意	满意	非常满意

假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件 $A$ ：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件 $A$ 发生的概率为.

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四、双空题

16. 如图， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别是双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{a} = 1 (a > 0)$ 的左、右顶点，以实轴为直径的半圆交其中一条渐近线于点m，直线 $M A_{2}$ 交另一条渐近线于点n，若 $\vec{M A_{1}}$ ∥ $\vec{N O}$ ，则 $a =$ ，若 $F_{2}$ 为双曲线右焦点，则 $△ M F_{2} O$ 的周长为.

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五、解答题

17. 等差数列

{a_{n}} (n \in N^{*})

中，

a_{1}

，

a_{2}

，

a_{3}

分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.

	第一列	第二列	第三列
第一行	5	8	2
第二行	4	3	12
第三行	16	6	9

(1)、请选择一个可能的

{a_{1}, a_{2}, a_{3}}

组合，并求数列

{a_{n}}

的通项公式；

(2)、记（1）中您选择的

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

，判断是否存在正整数

k

，使得

a_{1}

，

a_{k}

，

S_{k + 2}

成等比数列，若有，请求出

k

的值；若没有，请说明理由.

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18. 如图，在直角 $△ A C B$ 中， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ， $∠ C A B = \frac{π}{3}$ ， $A C = 2$ ，点m在线段 $A B$ 上.

(1)、若 $\sin ∠ C M A = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $C M$ 的长；

(2)、点 $N$ 是线段 $C B$ 上一点， $M N = \sqrt{7}$ ，且 $S_{△ B M N} = \frac{1}{2} S_{△ A C B}$ ，求 $B M + B N$ 的值.

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19. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥ A B$ ， $P A = 6$ ， $A B = 8$ ， $P D = 10$ ，N为 $P C$ 的中点，F为棱 $B C$ 上的一点.

(1)、证明：面 $P A F ⊥$ 面 $A B C D$ ；

(2)、当F为 $B C$ 中点时，求二面角 $A - N F - C$ 余弦值.

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20. 根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.

将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为 $t$ ； $y$ 表示全国GDP总量，表中 $z_{i} = \ln y_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ ， $\bar{z} = \frac{1}{5} \sum_{i = 1}^{5} z_{i}$ .

$\bar{t}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$	$\sum_{i = 1}^{5} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (z_{i} - \bar{z})$
3	26.474	1.903	10	209.76	14.05

参考数据：

$n$	4	5	6	7	8
$e^{n}$ 的近似值	55	148	403	1097	2981

(1)、根据数据及统计图表，判断

\hat{y} = b t + a

与

\hat{y} = c e^{d t}

（其中

e = 2.718 \dots

为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量y关于t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出y关于t的回归方程.

(2)、使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.

线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点B是椭圆上位于第一象限的任一点，且当 $\vec{B F_{2}} \cdot \vec{F_{1} F_{2}} = 0$ 时， $| \vec{B F_{2}} | = \frac{3}{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若椭圆C上点A与点B关于原点O对称，过点B作 $B D$ 垂直于x轴，垂足为D，连接 $A D$ 并延长交 $C$ 于另一点M，交y轴于点N.
（ⅰ）求 $△ O D N$ 面积最大值；

（ⅱ）证明：直线 $A B$ 与 $B M$ 斜率之积为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + λ (\frac{1}{x} - x) (λ \in R)$ .

(1)、当 $x > 1$ 时，不等式 $f (x) < 0$ 恒成立，求 $λ$ 的最小值；

(2)、设数列 $a_{n} = \frac{1}{n} (n \in N^{*})$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{2 n} - S_{n} + \frac{a_{n}}{4} > \ln 2$ .

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