山东省威海市2020届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2020-07-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x = 5 n + 1, n \in N}$ ， $B = {6, 9, 11, 18}$ ，则集合 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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2. 已知复数z满足 $(z + 2) (1 + i) = 2 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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3. 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，其数值越小说明生活富裕程度越高．统计改革开放40年来我国历年城镇和农村居民家庭恩格尔系数，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）

A、城镇居民家庭生活富裕程度不低于农村居民家庭 B、随着改革开放的不断深入，城镇和农村居民家庭生活富裕程度越来越高 C、1996年开始城镇和农村居民家庭恩格尔系数都低于50% D、随着城乡一体化进程的推进，城镇和农村居民家庭生活富裕程度差别越来越小

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4. 以抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 16$ B、 ${(y - 2)}^{2} + x^{2} = 16$ C、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ D、 ${(y - 1)}^{2} + x^{2} = 4$

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5. 已知 $\sin (β - α) \cos β - \cos (α - β) \sin β = \frac{3}{5}$ ， $α$ 为第三象限角，则 $\cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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6. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量 $E$ （单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为 $\lg E = 4.8 + 1.5 M$ .2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为（）

A、 $10^{1.5}$ B、1.5 C、 $\lg 1.5$ D、 $10^{- 1.5}$

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7. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）的最小正周期为 $π$ ，且图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到函数 $g (x) = \cos ω x$ 的图象，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 已知点A，B分别在双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右两支上，且关于原点O对称， $C$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，直线 $A F_{1}$ 与 $C$ 的左支相交于另一点M，若 $| M F_{1} | = | B F_{1} |$ ，且 $\vec{B F_{1}} \cdot \vec{A M} = 0$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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二、多选题

9. 若 $a$ ， $b$ 为正实数，则 $a > b$ 的充要条件为（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $\ln a > \ln b$ C、 $a \ln a < b \ln b$ D、 $a - b < e^{a} - e^{b}$

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10. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} > 0$ ， $S_{10} = S_{20}$ ，则（）

A、 $d < 0$ B、 $a_{16} < 0$ C、 $S_{n} \leq S_{15}$ D、当且仅当 $S_{n} < 0$ 时 $n \geq 32$

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11. 如图直角梯形 $A B C D$ ， $A B // C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A B = 2$ ， $E$ 为 $A B$ 中点，以 $D E$ 为折痕把 $△ A D E$ 折起，使点 $A$ 到达点 $P$ 的位置，且 $P C = 2 \sqrt{3}$ ．则（）

A、平面 $P E D ⊥$ 平面 $E B C D$ B、 $P C ⊥ E D$ C、二面角 $P - D C - B$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ D、 $P C$ 与平面 $P E D$ 所成角的正切值为 $\sqrt{2}$

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12. 设函数 $f (x) = 2^{\cos 2 x} - 2^{- \cos 2 x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 单调递增 B、 $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{3}{2} ， \frac{3}{2}]$ C、 $f (x)$ 的一个周期为 $π$ D、 $f (x + \frac{π}{4})$ 的图像关于点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 对称

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量， $\vec{c} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ，且 $< \vec{a}, \vec{b} > = \frac{π}{3}$ ，则 $〈 \vec{a}, \vec{c} 〉 =$ ．

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14. 若 $(1 + a x^{2}) {(1 + x)}^{4}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为12，则 $a =$ ．

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15. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为 $\frac{2}{3}$ 的鳖臑 $A B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ，且 $A B = 2$ ， $C D = 1$ ，则该鳖臑外接球的表面积为．

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四、双空题

16. 为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为 $2400 m^{2}$ 的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为 $28 m^{2}$ ，月租费为 $x$ 万元；每间肉食水产店面的建造面积为 $20 m^{2}$ ，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则 $x$ 的最大值为万元．

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五、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $2 \cos A - 3 = 4 \cos 2 A$ ，且 $A$ 为锐角．
（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若 $6 \sin A = a (\sin B + \sin C)$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = 4 a_{n} + 1$ ．设 $b_{n} = a_{n + 1} - 2 a_{n}$ ．
（Ⅰ）证明：数列 ${b_{n}}$ 为等比数列；

（Ⅱ）设 $c_{n} = | b_{n} - 100 |$ ， $T_{n}$ 为数列 ${c_{n}}$ 的前n项和，求 $T_{10}$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A D // B C$ ， $P A = A D = C D = 2$ ， $B C = 3$ ．过点 $A$ 做四棱锥 $P - A B C D$ 的截面 $A E F G$ ，分别交 $P D$ ， $P C$ ， $P B$ 于点 $E ， F ， G$ ，已知 $P G ： P B = 2 ： 3$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $A G //$ 平面 $P C D$ ；

（Ⅱ）求 $A F$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P (- 1, \frac{3}{2})$ 是椭圆上一点， $| F_{1} F_{2} |$ 是 $| P F_{1} |$ 和 $| P F_{2} |$ 的等差中项．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若A为椭圆的右顶点，直线 $A P$ 与 $y$ 轴交于点 $H$ ，过点 $H$ 的另一直线与椭圆交于 $M$ 、 $N$ 两点，且 $S_{△ H M A} = 6 S_{△ P H N}$ ，求直线 $M N$ 的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x - \frac{(x - 1) (1 + m x)}{x}$ ．
（Ⅰ）当 $m = 1$ 时，试判断 $f (x)$ 零点的个数；

（Ⅱ）若 $x \geq 1$ 时， $f (x) \leq 0$ ，求 $m$ 的取值范围．

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22. 新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全性的实验．现对某种新药进行5000次动物实验，一次实验方案如下：选取3只白鼠对药效进行检验，当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有1只“效果明显”，则再取2只白鼠进行二次检验，当2只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”，其余情况则确定“实验失败”．设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“效果明显”的概率均为 $P (0 < p < 1)$ ．
（Ⅰ）若 $p = \frac{1}{2}$ ，设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为 $p_{0}$ ，求 $p_{0}$ 的值；

（Ⅱ）若动物实验预算经费700万元，对每只白鼠进行实验需要300元，其他费用总计为100万元，问该动物实验总费用是否会超出预算，并说明理由．

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