山东省泰安市2020届高三数学一轮检测试卷

试卷更新日期：2020-07-03 类型：高考模拟

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一、多选题

1. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.

A、互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上 B、互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20% C、互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D、互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

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2. 下列说法正确的是（）

A、“ $c = 5$ ”是“点 $(2, 1)$ 到直线 $3 x + 4 y + c = 0$ 的距离为3”的充要条件 B、直线 $x \sin α - y + 1 = 0$ 的倾斜角的取值范围为 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ C、直线 $y = - 2 x + 5$ 与直线 $2 x + y + 1 = 0$ 平行，且与圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 相切 D、离心率为 $\sqrt{3}$ 的双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$

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3. 已知 $α, β$ 是两个不重合的平面， $m, n$ 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ⊥ n, m ⊥ α, n / / β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m ⊥ α, n / / α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $α / / β, m \subset α$ ，则 $m / / β$ D、若 $m / / n, α / / β$ ，则 $m$ 与 $α$ 所成的角和 $n$ 与 $β$ 所成的角相等

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4. 已知函数 $f (x) = e^{| x |} \sin x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期为 $2 π$ 的奇函数 B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4})$ 上为增函数 C、 $f (x)$ 在 $(- 10 π ， 10 π)$ 内有21个极值点 D、 $f (x) ⩾ a x$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上恒成立的充要条件是 $a ⩽ 1$

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二、填空题

5. 已知 $α ， β \in (\frac{3 π}{4} ， π) ， \sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ， $\sin (β - \frac{π}{4}) = \frac{12}{13}$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{4})$ = ．

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6. 一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有种.

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7. 《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（" "表示一根阳线，" "表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为.

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三、双空题

8. 过点 $M (- m, 0) (m \neq 0)$ 的直线 $l$ 与直线 $3 x + y - 3 = 0$ 垂直，直线 $l$ 与双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线分别交于点 $A, B$ ，若点 $P (m, 0)$ 满足 $| P A | = | P B |$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为，离心率为.

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四、解答题

9. 在① $A_{5} = B_{3}$ ，② $\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{2}} = \frac{4}{B_{2}}$ ，③ $B_{5} = 35$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d (d > 0)$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 的公差为 $2 d$ .设 $A_{n}, B_{n}$ 分别是数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $b_{1} = 3, A_{2} = 3$ ，，

(1)、求数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = 2^{a_{n}} + \frac{3}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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10. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $8 \cos^{2} \frac{B + C}{2} - 2 \cos 2 A = 3$

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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11. 在四边形 $A B C P$ 中， $A B = B C = \sqrt{2} ， ∠ P = \frac{π}{3}$ ， $P A = P C = 2$ ；如图，将 $△ P A C$ 沿 $A C$ 边折起，连结 $P B$ ，使 $P B = P A$ ，求证：

(1)、平面 $A B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若F为棱 $A B$ 上一点，且 $A P$ 与平面 $P C F$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求二面角 $F - P C - A$ 的大小.

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12. 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：
甲公司员工 $A$ ：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350

乙公司员工 $B$ ：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420

每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.

(1)、根据题中数据写出甲公司员工 $A$ 在这10天投递的快件个数的平均数和众数；

(2)、为了解乙公司员工 $B$ 每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为 $ξ$ (单位：元)，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(3)、根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.

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13. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 相交于 $P, Q$ 两点；当直线 $l$ 经过椭圆 $C$ 的下顶点 $A$ 和右焦点 $F_{2}$ 时， $Δ F_{1} P Q$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$ ，且 $l$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点的横坐标为 $\frac{4}{3}$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、点M为 $△ P O Q$ 内一点，O为坐标原点，满足 $\vec{M P} + \vec{M O} + \vec{M Q} = 0$ ，若点M恰好在圆 $O ： x^{2} + y^{2} = \frac{4}{9}$ 上，求实数m的取值范围.

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14. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + a x}{e^{x}} ， a \in R$

(1)、若函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0} (\ln 2 < x_{0} < \ln 3)$ 处取得极值1，证明： $2 - \frac{1}{\ln 2} < a < 3 - \frac{1}{\ln 3}$

(2)、若 $f (x) ⩽ x - \frac{1}{e^{x}}$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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