山东省青岛市2020届高三数学4月统一质量检测（一模)试卷

试卷更新日期：2020-07-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知i是虚数单位，复数 $z = \frac{1 - 2 i}{i}$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、-i B、1 C、i D、-1

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2. 已知集合 $A = {x \in R | \log_{2} x < 2}$ ，集合 $B = {x \in R | | x - 1 | < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 3)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $(0, 4)$ D、 $(- \infty, 3)$

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3. 已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额 $ξ$ （单位：元）服从正态分布 $N (2000, 100^{2})$ ，则该市某居民手机支付的消费额在 $(1900, 2200)$ 内的概率为（）
附：随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < u + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) = 0.9974$ ．

A、0.9759 B、0.84 C、0.8185 D、0.4772

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4. 设 $a = 2^{0.2}$ ， $b = \sin 2$ ， $c = \log_{2} 0.2$ ，则a，b，c的大小关系正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x} - 9 ， x \geq 0 \\ x e^{x} ， x < 0 \end{array}$ （ $e = 2.718$ 为自然对数的底数），若 $f (x)$ 的零点为 $α$ ，极值点为 $β$ ，则 $α + β =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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6. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的所有棱长均相等，点E，F分别在线段 $P A$ ， $P C$ 上，且 $E F / /$ 底面 $A B C D$ ，则异面直线 $E F$ 与 $P B$ 所成角的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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7. 在同一直角坐标系下，已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 单位后得到曲线D，点A，B分别在双曲线C的下支和曲线D上，则线段 $A B$ 长度的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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8. 某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”､“升级题型”､“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为 $\frac{4}{5}$ ，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（）

A、 $\frac{112}{125}$ B、 $\frac{80}{125}$ C、 $\frac{113}{125}$ D、 $\frac{124}{125}$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} + \vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (- 3, 1)$ ， $\vec{c} = (1, 1)$ ，设 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、 $\vec{b} / / \vec{c}$ D、 $θ = 135 °$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{2} x$ ， $x \in R$ ，则（）

A、 $- 2 \leq f (x) \leq 2$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上只有1个零点 C、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ D、 $x = \frac{π}{3}$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = S_{n} + 2 a_{n} + 1$ ，数列 ${\frac{2^{n}}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列选项正确的为（）

A、数列 ${a_{n} + 1}$ 是等差数列 B、数列 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列 C、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{n} - 1$ D、 $T_{n} < 1$

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12. 已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上下底面均为正方形，其中 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A_{1} B_{1} = \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = B B_{1} = C C_{1} = 2$ ，则下述正确的是（）．

A、该四棱台的高为 $\sqrt{3}$ B、 $A A_{1} ⊥ C C_{1}$ C、该四棱台的表面积为26 D、该四棱台外接球的表面积为 $16 π$

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三、填空题

13. 若 $x \in (0, + \infty)$ ， $4 x + x^{- 1} \geq a$ 恒成立，则实数a的取值范围为．

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14. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R， $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (0) = 1$ ，则 $f (2) =$ ．

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15. 已知 $a \in N$ ，二项式 ${(x + \frac{a + 1}{x})}^{6}$ 展开式中含有 $x^{2}$ 项的系数不大于240，记a的取值集合为A，则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有个．

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16. 2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图： $Q (0 ， - 3)$ 是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S､圆L均与圆Q外切．已知直线 $l$ 过点O．

⑴若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为；

⑵若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则 $d =$ ．

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四、解答题

17. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．已知 $a_{1} b_{1} = 2$ ， $S_{2} = 6$ ， $S_{3} = 12$ ， $T_{2} = \frac{4}{3}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、是否存在正整数 $k$ ，使得 $S_{k} < 6 k$ 且 $T_{k} > \frac{13}{9}$ ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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18. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， $2 b^{2} = (b^{2} + c^{2} - a^{2}) (1 - \tan A)$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{10}$ ， $D$ 为 $B C$ 中点，在下列两个条件中任选一个，求 $A D$ 的长度．
条件①： $△ A B C$ 的面积 $S = 4$ 且 $B > A$ ；

条件②： $\cos B = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

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19. 在如图所示的四棱锥 $E - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $△ B C E$ 为边长为2的等边三角形， $A B = A E$ ，点 $F$ ，O分别为 $A B$ ， $B E$ 的中点， $O F$ 是异面直线 $A B$ 和 $O C$ 的公垂线．

(1)、证明：平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C E$ ；

(2)、记 $O C D E$ 的重心为 $G$ ，求直线 $A G$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值．

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20. 某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱｡

(1)、已知该网络购物平台近5年“双十”购物节当天成交额如下表：

年份

2015

2016

2017

2018

2019

成交额（百亿元）

9

12

17

21

27

求成交额 $y$ （百亿元）与时间变量 $x$ （记2015年为 $x = 1$ ，2016年为 $x = 2$ ，……依次类推）的线性回归方程，并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额（百亿元）；

(2)、在2020年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台．上分别参加 $A$ 、 $B$ 两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在 $A$ 、两店订单“秒杀”成功的概率分别为 $p$ 、 $q$ ，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为 $X$ ．
（i）求 $X$ 的分布列及 $E (X)$ ；

（ii）已知每个订单由 $k (k \geq 2 ， k \in N^{*})$ 件商品W构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品 $W$ 总数量为 $Y$ ，假设 $p = \frac{7 \sin \frac{π}{k}}{4 k} - \frac{π}{k^{2}}$ ， $q = \frac{\sin \frac{π}{k}}{4 k}$ ，求 $E (Y)$ 取最大值时正整数k的值．

附：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + a$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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21. 已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $F_{2}$ 点又恰为抛物线 $D : y^{2} = 4 x$ 的焦点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆 $C$ 仅有两个公共点．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若直线l与D相交于A，B两点，记点A，B到直线 $x = - 1$ 的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ， $| A B | = d_{1} + d_{2}$ ．直线l与C相交于E，F两点，记 $△ O A B$ ， $△ O E F$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．
（ⅰ）证明： $△ E F F_{1}$ 的周长为定值；

（ⅱ）求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = a x \ln x - x^{2} + 2$ 的图象在点 $(1 ， 1)$ 处的切线方程为 $y = 1$ ．

(1)、当 $x \in (0 ， 2)$ 时，证明： $0 < f (x) < 2$ ；

(2)、设函数 $g (x) = x f (x)$ ，当 $x \in (0 ， 1)$ 时，证明： $0 < g (x) < 1$ ；

(3)、若数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} = f (a_{n})$ ， $0 < a_{1} < 1$ ， $n \in N^{*}$ ．证明： $\sum_{i = 1}^{n} \ln a_{i} < 0$ ．

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年份	2015	2016	2017	2018	2019
成交额（百亿元）	9	12	17	21	27