山东省临沂市2020届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2020-07-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | x^{2} < 2}$ ， $B = {x | 2^{x} > 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${1, 2}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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2. 已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $(1, - 1)$ ， $(0, 1)$ ，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 的共轭复数为（）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $1 - i$

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3. 若 $a \in R$ ，则“ $| a | > 1$ ”是“ $a^{3} > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，其中 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是相反向量，且 $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{c} = (3, - 3)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、2 D、 $- 2$

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5. 已知 $x = \ln π$ ， $y = \log_{5} 2$ ， $z = e^{- 0.5}$ ，则（）

A、 $x > y > z$ B、 $x > z > y$ C、 $z > y > x$ D、 $z > x > y$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ ， $x \in [1 ， 4]$ ，当 $x = a$ 时， $f (x)$ 取得最大值b，则函数 $g (x) = a^{| x + b |}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知园周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈 $= 10^{6}$ 立方寸），一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子（）

A、200两 B、240两 C、360两 D、400两

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8. 点 $M$ 为抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 上任意一点，点 $N$ 为圆 $x^{2} + y^{2} - 2 y + \frac{3}{4} = 0$ 上任意一点，若函数 $f (x) = \log_{a} (x + 2) + 2 (a > 1)$ 的图象恒过定点 $P$ ，则 $| M P | + | M N |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{11}{4}$ C、3 D、 $\frac{13}{4}$

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、若 $\tan α = 2$ ，则 $\cos 2 α = \frac{3}{5}$ B、若 $\sin α + \cos β = 1$ ，则 $\sin^{2} α + \cos^{2} β \geq \frac{1}{2}$ C、“ $\exists x_{0} \in Z$ ， $\sin x_{0} \in Z$ ”的否定是“ $\forall x \in Z$ ， $\sin x \notin Z$ ” D、将函数 $y = | \cos 2 x |$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，所得图象关于原点对称

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10. 某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中2019年的录取人数被遮挡了．他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是（）

A、全国高考报名人数逐年增加 B、2018年全国高考录取率最高 C、2019年高考录取人数约820万 D、2019年山东高考报名人数在全国的占比最小

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11. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $c = 3$ ， $A + 3 C = π$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\cos C = \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sin B = \frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $a = 3$ D、 $S_{△ A B C} = \sqrt{2}$

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12. 如图，点E为正方形 $A B C D$ 边 $C D$ 上异于点C，D的动点，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 翻折成 $△ S A E$ ，在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、存在点E和某一翻折位置，使得 $S B ⊥ S E$ B、存在点E和某一翻折位置，使得 $A E / /$ 平面 $S B C$ C、存在点E和某一翻折位置，使得直线 $S B$ 与平面 $A B C$ 所成的角为45° D、存在点E和某一翻折位置，使得二面角 $S - A B - C$ 的大小为60°

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三、填空题

13. 三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是.

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14. 若 ${(3 \sqrt{x} + \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{3} + 3 x^{2} + 2 ， x \geq 0 \\ - x^{2} e^{x} ， x < 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) + a = 0$ 有两个不相等的实根，则实数a取值范围是．

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四、双空题

16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{2} x$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A$ 在双曲线上，且 $A F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，则该双曲线的离心率为， $\sin ∠ A F_{1} F_{2} =$ ．

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五、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{n} < 0$ ， $a_{n}^{2} - 2 a_{n} = 3 - 4 S_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n} b_{n} = 1$ ，求满足 $b_{1} b_{2} + b_{2} b_{3} + \dots + b_{n} b_{n + 1} < \frac{1}{7}$ 的正整数n的最大值．

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18. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) + m (ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < 0)$ 满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：① $ω = \frac{3}{2}$ ，②周期 $T = π$ ，③过点 $(0, 0)$ ，④ $f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}$ ．

(1)、写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = 1$ 相邻两个交点间的最短距离．

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19. 如图，斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $O$ 为 $B C$ 的中点， $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $M$ 在 $A O$ 上， $A M = 2 M O$ ， $N$ 为 $O C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 的交点，且 $B B_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - O C_{1} - B$ 的正弦值．

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20. 动点P在椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，过点P作x轴的垂线，垂足为A，点 $B$ 满足 $\vec{A B} = 3 \vec{A P}$ ，已知点B的轨迹是过点 $Q (0 ， 3)$ 的圆．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设直线l与椭圆C交于M，N两点（M，N在x轴的同侧）， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆的左、右焦点，若 $F_{1} M / / F_{2} N$ ，求四边形 $F_{1} F_{2} N M$ 面积的最大值．

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21. 2020年新冠肺炎疫情暴发以来，中国政府迅速采取最全面、最严格、最彻底的防控举措，坚决遏制疫情蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情做岀了贡献．为普及防治新冠肺炎的相关知识，某高中学校开展了线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从大批参与者中随机抽取200名幸运者，他们的得分（满分100分）数据统计结果如图：

(1)、若此次知识竞答得分 $X$ 整体服从正态分布，用样本来估计总体，设 $μ$ ， $σ$ 分别为这200名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求 $μ$ ， $σ$ 的值（ $μ$ ， $σ$ 的值四舍五入取整数），并计算 $P (37 < X < 79)$ ；

(2)、在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对参与此次知识竞答的幸运者制定如下奖励方案：得分低于 $μ$ 的获得1次抽奖机会，得分不低于 $μ$ 的获得2次抽奖机会．假定每次抽奖中，抽到18元红包的概率为 $\frac{2}{3}$ ，抽到36元红包的概率为 $\frac{1}{3}$ ．已知高三某同学是这次活动中的幸运者，记 $Y$ 为该同学在抽奖中获得红包的总金额，求 $Y$ 的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额．
参考数据： $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ； $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ； $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = a \ln x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + b$ ， $a ， b \in R$ .

(1)、设 $F (x) = x f (x)$ ，求 $F (x)$ 在 $[a ， 2 a]$ 上的最大值；

(2)、设 $G (x) = f (x) + g (x)$ ，若 $G (x)$ 的极大值恒小于0，求证： $a + b \leq \frac{e^{4}}{2}$ .

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