山东省聊城市2020届高三数学高考模拟（一)试卷

试卷更新日期：2020-07-03 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N^{*} | x < 4}, B = {x | x (x - 2) ⩽ 0}$ ，则集合 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
2. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = | 3 + 4 i |$ ，则复数z的共轭复数为（）

A、 $1 - 2 i$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $1 + 2 i$

查看试题解析
3. “ $a < 2$ ”是“ $\forall x \in R, a \leq x^{2} + 1$ 为真命题”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 已知 $\cos (α - \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

查看试题解析
5. 将某校高一3班全体学生分成三个小组分别到三个不同的地方参加植树活动，若每个学生被分到三个小组的概率都相等，则这个班的甲，乙两同学分到同一个小组的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{9}$

查看试题解析
6. 数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（）

A、153 B、190 C、231 D、276

查看试题解析
7. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点M是棱 $C C_{1}$ 的中点，点 $A ， B ， D ， M$ 都在球O的球面上，则球O的表面积为（）

A、 $\frac{3}{2} π$ B、 $3 π$ C、 $\frac{9}{4} π$ D、 $9 π$

查看试题解析
8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数 $y = [x] ， x \in R$ 称为高斯函数，其中 $[x]$ 表示不超过x的最大整数.设 ${x} = x - [x]$ ，则函数 $f (x) = 2 x {x} - x - 1$ 的所有零点之和为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

查看试题解析

二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、回归直线一定经过样本点的中心 $(\bar{x} ， \bar{y})$ B、若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 $r$ 的值越接近于1 C、在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D、在线性回归模型中，相关指数 $R^{2}$ 越接近于1，说明回归模型的拟合效果越好

查看试题解析
10. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是（）

A、C的渐近线上的点到 $F$ 距离的最小值为4 B、C的离心率为 $\frac{5}{4}$ C、C上的点到 $F$ 距离的最小值为2 D、过F的最短的弦长为 $\frac{32}{3}$

查看试题解析
11. 已知直线 $l : 2 k x - 2 y - k p = 0$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 相交于 $A, B$ 两点，点 $M (- 1, - 1)$ 是抛物线C的准线与以 $A B$ 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）

A、 $p = 2$ B、 $k = - 2$ C、 $| A B | = 5$ D、 $△ M A B$ 的面积为 $5 \sqrt{5}$

查看试题解析
12. 若实数 $a \geq 2$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 ${(a + 1)}^{a + 2} > {(a + 2)}^{a + 1}$ B、 $\log_{a} (a + 1) > \log_{a + 1} (a + 2)$ C、 $\log_{a} (a + 1) < \frac{a + 1}{a}$ D、 $\log_{a + 1} (a + 2) < \frac{a + 2}{a + 1}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 ${(a x - \frac{2}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中 $x^{- 1}$ 的系数为 $- 40$ ，则实数 $a =$

查看试题解析
14. 若函数 $f (x) = \sin x + \cos x$ 在 $[0, a]$ 上单调递增，则实数a的取值范围为

查看试题解析
15. 已知 $\vec{a} = (c o s α, \sin α), \vec{b} = (\sin β, \cos β)$ ，且 $α + β = 100 °$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ =$

查看试题解析

四、双空题

16. 点 $M ， N$ 分别为三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱 $B C ， B B_{1}$ 的中点，设 $△ A_{1} M N$ 的面积为 $S_{1}$ ，平面 $A_{1} M N$ 截三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所得截面面积为 $S$ ，五棱锥 $A_{1} - C C_{1} B_{1} N M$ 的体积为 $V_{1}$ ，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $V$ ，则 $\frac{V_{1}}{V} =$ ， $\frac{S_{1}}{S} =$ .

查看试题解析

五、解答题

17. $① a_{5} = b_{3} + b_{5}, ② S_{3} = 87$ $③ a_{9} - a_{10} = b_{1} + b_{2}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，_______， $a_{1} = b_{6}$ ，若对于任意 $n \in N^{*}$ 都有 $T_{n} = 2 b_{n} - 1$ ，且 $S_{n} \leq S_{k}$ ( $k$ 为常数)，求正整数 $k$ 的值.

查看试题解析
18. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2} ， A D = \sqrt{17} ， ∠ A B D = 45 °$ .

(1)、求 $△ A B D$ 的面积；

(2)、设M为 $B D$ 的中点，且 $M C = M B$ ，求四边形 $A B C D$ 周长的最大值.

查看试题解析
19. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B C = C D ， B C ⊥ C D ， A D ⊥ B D$ ，以 $B D$ 为折痕把 $△ A B D$ 折起，使点A到达点P的位置，且 $P C ⊥ B C$ .

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若M为 $P B$ 的中点，二面角 $P - B C - D$ 等于60°，求直线 $P C$ 与平面 $M C D$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，右焦点为F，且椭圆C上的点到点F的距离的最小值与最大值的积为1，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、动直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆C交于 $P, Q$ 两点，且直线l与圆O相切，求 $△ A P Q$ 的面积与 $△ B P Q$ 的面积乘积的取值范围.

查看试题解析
21. 2020年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情.某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分)，竞赛奖励规则如下，得分在 $[70 ， 80)$ 内的学生获三等奖，得分在 $[80 ， 90)$ 内的学生获二等奖，得分在 $[90 ， 100]$ 内的学生获一等奖，其他学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图.

(1)、现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；

(2)、若该校所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $σ \approx 15 ， μ$ 为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
(i)若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数(结果四舍五入到整数)；

(ii)若从所有参赛学生中(参赛学生数大于10000)随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和均值.

附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = a x + x^{2} \ln x$ .

(1)、证明：当 $a \leq 0$ 时，函数 $f (x)$ 有唯一的极值点；

(2)、设 $a$ 为正整数，若不等式 $f (x) < e^{x}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内恒成立，求 $a$ 的最大值.

查看试题解析