山东省聊城市2020届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2020-07-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq 2} ， B = {x | x^{2} - x - 6 \geq 0}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 ${x | 2 \leq x < 3}$ B、 ${x | 2 < x \leq 3}$ C、 ${x | - 2 < x \leq 3}$ D、 ${x | - 3 < x \leq 2}$

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2. 在复数范围内，实系数一元二次方程一定有根，已知方程 $x^{2} + a x + b = 0 (a \in R ， b \in R)$ 的一个根为1+i(i为虚数单位)，则 $\frac{a}{1 + i} =$ （）

A、1-i B、-1+i C、2i D、2+i

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3. 已知 $a = π^{\frac{1}{π}} ， b = \ln \sqrt{π} = \log_{π} \sqrt{e}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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4. 2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有（）

A、15 B、60 C、90 D、540

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{n} = 1$ ，则 $n > m > 0$ 是双曲线C的离心率大于 $\sqrt{2}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 在2019年女排世界杯比赛中，中国队以十一连胜的骄人成绩夺得了冠军，成功卫冕，收到习近平总书记的贺电，团结协作、顽强拼搏是中国女排精神，为学习女排精神，A、B两校排球队进行排球友谊赛，采取五局三胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为 $\frac{3}{5}$ ，设各局比赛相互间没有影响，则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为（）

A、 $\frac{72}{625}$ B、 $\frac{78}{625}$ C、 $\frac{162}{625}$ D、 $\frac{234}{625}$

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7. 我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童 $A B C D - E F G H$ 有外接球，且 $A B = 2 \sqrt{6}$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $E H = \sqrt{15}$ ， $E F = \sqrt{5}$ ，平面 $A B C D$ 与平面 $E F G H$ 间的距离为 $1$ ，则该刍童外接球的体积为（）

A、 $12 π$ B、 $24 π$ C、 $36 π$ D、 $48 π$

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8. 随机变量ξ的分布列为：

$ξ$

0

1

2

$P$

$a$

$\frac{b}{2}$

$\frac{b}{2}$

其中 $a b \neq 0$ ，下列说法不正确的是（）

A、 $a + b = 1$ B、 $E (ξ) = \frac{3 b}{2}$ C、D(ξ)随b的增大而减小 D、D(ξ)有最大值

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二、多选题

9. 居民消费价格指数，简称CPI，是一个反映居民消费价格水平变动情况的宏观经济指标.某年的 $C P I = \frac{当年的居民消费价格}{上一年的居民消费价格} \times 100$ ，以下是 $2009 - 2018$ 年居民消费价格指数的柱形图.

从图中可知下列说法正确的是（）

A、 $2010 - 2018$ 年居民消费价格总体呈增长趋势 B、这十年中有些年份居民消费价格增长率超过3% C、2009年的居民消费价格出现负增长 D、2011年的居民消费价格最高

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10. 下列关于函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ 的叙述正确的为（）

A、函数 $f (x)$ 有三个零点 B、点(1，0)是函数 $f (x)$ 图象的对称中心 C、函数 $f (x)$ 的极大值点为 $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、存在实数a，使得函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} + a f (x)$ 为增函数

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 过点 $P (1 ， 1)$ 则下列结论正确的是（）

A、点P到抛物线焦点的距离为 $\frac{3}{2}$ B、过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为 $\frac{5}{32}$ C、过点P与抛物线相切的直线方程为 $x - 2 y + 1 = 0$ D、过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N点则直线MN的斜率为定值

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12. 设函数 $f (x)$ 是定义域为R，且周期为2的偶函数，在区间[0，1]上， $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \in M \\ x ， x \notin M \end{array}$ ，其中集合 $M = {x | x = \frac{m}{m + 1} ， m \in N}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{4}{3}) = \frac{4}{9}$ B、 $f (x)$ 在[2m，2m+1](m∈N)上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{m}{m + 1} ， \frac{m + 1}{m + 2}) (m \in N)$ 内单调递增 D、 $f (x)$ 的值域为[0，1]

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三、填空题

13. 已知 $\cos (α + \frac{π}{5}) = \frac{3}{5}, α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\sin (2 α - \frac{3}{5} π) =$ .

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14. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - \ln x ， 0 < x ⩽ 1 \\ - 1 + \ln x ， x > 1 \end{array}$ ，若 $f (a) = f (b)$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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15. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $A B = 2 ， A C = 3 ， ∠ B A C = 60^{°}$ ，M为BC的中点，N在AC上，且 $A N = 2 N C ， A M$ 与BN相交于点P，则cos∠MPN=.

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四、双空题

16. 足球运动是一项古老的体育活动，众多的资料表明，中国古代足球的出现比欧洲早，历史更为悠久，如图，现代比赛用足球是由正五边形与正六边形构成的共32个面的多面体，著名数学家欧拉证明了凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)满足F+V-E=2，那么，足球有.个正六边形的面，若正六边形的边长为 $\sqrt{21}$ ，则足球的直径为.cm(结果保留整数)(参考数据 $\tan 54^{°} = 1.38 ， \sqrt{3} = 1 ， 73 ， π = 3.14) .$

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五、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n}^{2} + a_{n} = 2 S_{n} + \frac{3}{4} (n \in N^{+})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{S_{n}},$ 求 ${b_{n}}$ 的前n项和T_n

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18. 在①acosB+bcosA= $2 c$ cosC；②2asinAcosB+bsin2A= $\sqrt{3}$ a；③△ABC的面积为S，且4S= $\sqrt{3}$ (a²+b²-c²)，这三个条件中任意选择一个，填入下面的问题中，并求解，在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数 $f (x)$ =2 $\sqrt{3}$ sinωxcosωx+2cos²ωx的最小正周期为π，c为 $f (x)$ 在[0， $\frac{π}{2}$ ]上的最大值，求a-b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.

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19. 如图，将长方形OAA₁O₁(及其内部)绕OO₁旋转一周形成圆柱，其中 $O A = 1 ， O O_{1} = 2$ ，弧 $\overset{⌢}{A_{1} B_{1}}$ 的长为 $\frac{π}{6}$ ，AB为⊙O的直径.

(1)、在弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上是否存在点C(C， $B_{1}$ 在平面 $O A A_{1} O_{1}$ 的同侧)，使 $B C ⊥ A B_{1}$ ，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由.

(2)、求二面角 $A_{1} - O_{1} B - B_{1}$ 的余弦值

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆C上.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $P (\frac{\sqrt{6}}{3}, 0)$ 的直线交椭圆C于E、F两点， $\frac{1}{{| E P |}^{2}} + \frac{1}{{| F P |}^{2}}$ 是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由

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21. 个人所得税是国家对本国公民、居住在本国境内的个人的所得和境外个人来源于本国的所得征收的一种所得税.我国在1980年9月10日，第五届全国人民代表大会第三次会议通过并公布了《中华人民共和国个人所得税法》.公民依法诚信纳税是义务，更是责任现将自2013年至2017年的个人所得税收入统计如下

并制作了时间代号x与个人所得税收入的如如图所示的散点图：

根据散点图判断，可用①y=me^nx与② $y = p x^{2} + q$ 作为年个人所得税收入y关于时间代号x的回归方程，经过数据运算和处理，得到如下数据：

以下计算过程中四舍五入保留两位小数.

(1)、根据所给数据，分别求出①，②中y关于x的回归方程；

(2)、已知2018年个人所得税收人为13.87千亿元，用2018年的数据验证（1）中所得两个回归方程，哪个更适宜作为y关于时间代号x的回归方程?

(3)、你还能从统计学哪些角度来进一步确认哪个回归方程更适宜? (只需叙述，不必计算)
附：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1}) ， (u_{2} ， v_{2}) ， \dots (u_{n} ， v_{n})$ 其回归直线 $v = a + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}} ， \hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} e^{a x + 1} + 1 - a (a \in R) ， g (x) = e^{x - 1} - x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、对 $\forall$ a∈(0，1)，是否存在实数λ， $\forall m \in [a - 1 ， a] ， \exists n \in [a - 1 ， a]$ ，使 $f {[(n)]}^{2} - λ g (m) < 0$ 成立，若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.

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$ξ$	0	1	2
$P$	$a$	$\frac{b}{2}$	$\frac{b}{2}$