山东省济宁市2020届高三数学5月（二模)模拟试卷

试卷更新日期：2020-07-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x | 2^{x} \geq \frac{1}{2}}$ ，则“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. i是虚数单位，复数 $z = \frac{a + i}{1 - 2 i} (a > 0)$ ，若 $| z | = 1$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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3. 双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = λ (λ > 0)$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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4. 已知 $a = \ln \frac{1}{π}$ ， $b = e^{\frac{1}{3}}$ ， $c = \log_{π} 3$ ，则 $a, b, c$ 大小顺序为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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5. 已知 $(x - 2) {(x + m)}^{5} = a_{6} x^{6} + a_{5} x^{5} + \cdot \cdot \cdot + a_{1} x + a_{0}$ ，m为常数，若 $a_{0} = 2$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、-7 B、-2 C、3 D、7

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6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽3丈，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，该粮仓的外接球的体积是（）立方丈

A、 $\frac{133}{4} π$ B、 $\frac{133}{48} π$ C、 $\frac{133 \sqrt{133}}{4} π$ D、 $\frac{133 \sqrt{133}}{48} π$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $P$ 为 $C D$ 上一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，若 $A C = 3$ ， $A B = 4$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{C D}$ 的值为（）

A、-3 B、 $- \frac{13}{12}$ C、 $\frac{13}{12}$ D、 $\frac{1}{12}$

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8. 已知n是一个三位正整数，若n的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称n为三位递增数．已知 $a, b, c \in {0, 1, 2, 3, 4}$ ，设事件A为“由 $a, b, c$ 组成三位正整数”，事件B为“由 $a ， b ， c$ 组成三位正整数为递增数”则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{2}{25}$ D、 $\frac{12}{25}$

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二、多选题

9. 下列说法中正确的是（）

A、对具有线性相关关系的变量 $x, y$ 有一组观测数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 8)$ ，其线性回归方程是 $\hat{y} = \frac{1}{3} x + \hat{a}$ ，且 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{8} = 2 (y_{1} + y_{2} + y_{3} + \cdot \cdot \cdot + y_{8}) = 6$ ，则实数 $\hat{a}$ 的值是 $\frac{1}{8}$ B、正态分布 $N (1, 9)$ 在区间 $(- 1, 0)$ 和 $(2, 3)$ 上取值的概率相等 C、若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 $r$ 的值越接近于1 D、若一组数据 $1, a, 2, 3$ 的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2

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10. 已知 $a, β$ 是两个不同平面， $m, n$ 是两条不同直线，则下列命题中正确的是（）

A、如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ a$ ， $n ⊥ β$ ，那么 $a ⊥ β$ B、如果 $m \subset a$ ， $a // β$ ，那么 $m // β$ C、如果 $a \cap β = l$ ， $m // a$ ， $m // β$ ，那么 $m // l$ D、如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ a$ ， $n // β$ ，那么 $a ⊥ β$

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11. 已知函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{3}) - 2 \sin (x + \frac{π}{4}) \cos (x + \frac{π}{4}) (x \in R)$ ，现给出下列四个命题，其中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 的最大值为1 C、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增 D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的函数解析式为 $g (x) = \sin 2 x$

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12. 已知抛物线 $E ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，圆 $C ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 16$ 与抛物线E交于 $A ， B$ 两点，点P为劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上不同于 $A ， B$ 的一个动点，过点P作平行于 $y$ 轴的直线 $l$ 交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是（）

A、点P的纵坐标的取值范围是 $(2 \sqrt{3} ， 5)$ B、 $| P N | + | N F |$ 等于点P到抛物线准线的距离 C、圆C的圆心到抛物线准线的距离为2 D、 $△ P F N$ 周长的取值范围是 $(8 ， 10)$

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三、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (- 4, 6), \overset{⇀}{b} = (2, x)$ 满足 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ ,其中 $x \in R$ ,那么 $| \overset{⇀}{b} | =$

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14. 已知 $tan (α + β) = \frac{2}{5}$ ， $tan β = \frac{1}{3}$ ，则 $tan (α + \frac{π}{4})$ 的值为．

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15. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数， $\forall x \in R$ 都有 $f (2 - x) = f (2 + x)$ ，且当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 2$ ．若函数 $g (x) = f (x) - \log_{a} (x + 1) (a > 0 ， a \neq 1)$ 在区间 $(- 1 ， 9]$ 内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是．

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16. 在① $\sin A, \sin B, \sin C$ 成等差数列；② $\sin B, \sin A, \sin C$ 成等比数列；③ $2 b \cos C = 2 a - \sqrt{3} c$ 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b$ ，面积为S．若_________，且 $4 S = \sqrt{3} (b^{2} + c^{2} - a^{^{2}})$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状．

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四、双空题

17. 已知首项与公比相等的等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $m, n \in N^{*}$ ，满足 $a_{m} a_{n}^{2} = a_{4}^{2}$ ，则 $\frac{2}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为，等号成立时 $m, n$ 满足的等量关系是．

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五、解答题

18. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{2} = 3$ ， $a_{4} + a_{5} + a_{6} = 0$
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ ，及前n项和 $S_{n}$

（Ⅱ）请你在数列 ${a_{n}}$ 的前4项中选出三项，组成公比的绝对值小于1的等比数列 ${b_{n}}$ 的前3项，并记数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 ${T_{n}}$ ．若对任意正整数 $k, m, n$ ，不等式 $S_{m} < T_{n} + k$ 恒成立，试求k的最小值．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为直角梯形， $B C // A D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $A D = P D = 2 A B = 2 B C = 2$ ，M为 $P A$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $B M //$ 平面 $P C D$

（Ⅱ）若平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P A D$ ，异面直线 $B C$ 与 $P D$ 所成角为60°，且 $△ P A D$ 是钝角三角形，求二面角 $B - P C - D$ 的正弦值

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20. 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占

\frac{8}{13}

，统计成绩后得到如下

2 \times 2

列联表：

	分数不少于120分	分数不足120分	合计
线上学习时间不少于5小时		4	19
线上学习时间不足5小时
合计			45

（下面的临界值表供参考）

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 其中 $n = a + b + c + d$ ）

(1)、请完成上面

2 \times 2

列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；

(2)、①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是

X

，求

X

的分布列（概率用组合数算式表示）；

②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.

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21. 已知两个函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ ， $g (x) = \frac{\ln x}{x} + \frac{1}{x} - 1$
（Ⅰ）当 $t > 0$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[t ， t + 1]$ 上的最大值；

（Ⅱ）求证：对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) > g (x)$ 都成立．

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22. 已知椭圆 $E :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为e，若椭圆的长轴长等于 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的直径，且 $2 e$ ， $a, b^{2}$ 成等差数列
（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ 是椭圆E上不同的两点，线段 $A B$ 的垂直平分线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $P (x_{0}, 0)$ ，试求点P的横坐标 $x_{0}$ 的取值范围．

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