江西省上饶市2020届高三理数第三次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-07-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \sqrt{x - 3} < 2}$ ， $B = {x | x \leq 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x \leq 5}$ B、 ${x | 3 \leq x \leq 5}$ C、 ${x | 3 \leq x < 7}$ D、 ${x | 3 < x \leq 5}$

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2. 复数z满足 $z \cdot i = 1 + 2 i$ ( $i$ 为虚数单位)，则复数z在复平面内所对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. ${(\frac{1}{\sqrt{x}} - 1)}^{5}$ 的展开式中 $\frac{1}{x}$ 项的系数为（）

A、 $- 5$ B、 $- 10$ C、 $5$ D、 $10$

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4. 执行如图的程序框图，若输入 $x = \sqrt{2}$ ，则输出的y值为（）

A、5 B、7 C、9 D、15

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5. 若 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{a_{2} + 2 a_{7} + a_{8}}{a_{3} + a_{6}} = \frac{20}{11}$ ，则 $\frac{S_{11}}{S_{8}} =$ （）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{5}{11}$ D、 $\frac{5}{4}$

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7. 将曲线 $x^{2} + y^{2} = | x | + | y |$ 围成的区域记为Ⅰ，曲线 $| x | + | y | = 1$ 围成的区域记为Ⅱ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自区域Ⅱ的概率为（）

A、 $\frac{1}{π + 2}$ B、 $\frac{1}{π + 1}$ C、 $\frac{2}{π + 2}$ D、 $\frac{2}{π + 1}$

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8. 在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，算筹有纵式和横式两种，如图是利用算筹表示 $1 ~ 9$ 的数字，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，例如，137可以用 $7$ 根小木棍表示“ ”，则用6根小木棍（要求用完6根）能表示不含“ $0$ ”且没有重复数字的三位数的个数是（）

A、12 B、18 C、24 D、27

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9. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 + \cos \frac{x}{2} (x \in [- π, π])$ ，则不等式 $f (x + 1) - f (2) > 0$ 的解集为（）

A、 $[- π, - 3) \cup (1, π]$ B、 $[- π, - 1) \cup (3, π]$ C、 $(- 3, 1)$ D、 $(- 1, 3)$

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10. 半径为2的球 $O$ 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（）

A、 $9 \sqrt{3}$ B、 $12 \sqrt{3}$ C、 $16 \sqrt{3}$ D、 $18 \sqrt{3}$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若 $| A F_{2} | = | B F_{2} |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 已知函数 $y = e^{x} + \frac{2}{x^{2} e^{x}}$ 和函数 $y = \frac{a}{| x |} (a \in R)$ ，关于这两个函数图象的交点个数，下列四个结论：①当 $a < 2 \sqrt{2}$ 时，两个函数图象没有交点；②当 $a = \frac{2 e^{2} + 1}{e}$ 时，两个函数图象恰有三个交点；③当 $2 \sqrt{2} < a < \frac{2 e^{2} + 1}{e}$ 时，两个函数图象恰有两个交点；④当 $a > \frac{2 e^{2} + 1}{e}$ 时，两个函数图象恰有四个交点.正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、双空题

13. 对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，...，如表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽前所需培育的天数的众数是.中位数是.

发芽前所需培育天数	1	2	3	4	5	6	7	≥8
种子数	4	3	3	5	2	2	1	0

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三、填空题

14. 若实数x，y满足条件 ${\begin{array}{l} x + y - 1 \geq 0 ， \\ x - y - 1 \leq 0 ， \\ x - 3 y + 3 \geq 0 ， \end{array}$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值为.

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15. 在扇形 $O A B$ 中， $∠ A O B = 60 °$ ，C为弧 $A B$ 上的一个动点.若 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，则 $2 x + y$ 的取值范围是.

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16. 正方形 $A B C D$ 的两个顶点 $A, B$ 在直线 $x + y - 4 = 0$ 上，另两个顶点 $C, D$ 分别在直线 $2 x - y - 1 = 0$ ， $4 x + y - 23 = 0$ 上，那么正方形 $A B C D$ 的边长为.

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $\sin 2 C + 2 \sqrt{3} \sin^{2} C = \sqrt{3}$ ，C为锐角.

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $\cos ∠ B A C = - \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，点D为边 $B C$ 上的动点（不与C点重合），设 $A D = λ D C$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $B C$ $/ / A D$ ， $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ ， $P A = A B = B C = 2$ ， $A D = 4$ ，点M是棱 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C M / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求二面角 $M - A C - D$ 的大小.

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19. 为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置上，甲先投，每人投一次篮，两人有 $1$ 人命中，命中者得 $1$ 分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分.设甲每次投篮命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每次投篮命中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且各次投篮互不影响.

(1)、经过 $1$ 轮投篮，记甲的得分为X，求X的分布列及期望；

(2)、若经过n轮投篮，用 $p_{i}$ 表示第i轮投篮后，甲的累计得分低于乙的累计得分的概率.
①求 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ ；

②规定 $P_{0} = 0$ ，经过计算机模拟计算可得 $P_{i} = a P_{i + 1} + b P_{i - 1} (i \geq 1, i \in N)$ ，请根据①中 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ 值求出 $a, b$ 的值，并由此求出数列 ${P_{n}}$ 的通项公式.

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为1.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若过点F作互相垂直的两条直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与抛物线C交于 $A ， B$ 两点， $l_{2}$ 与抛物线C交于 $C ， D$ 两点， $M ， N$ 分别为弦 $A B ， C D$ 的中点，求 $| M F | \cdot | N F |$ 的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = a x + \ln x^{2} (a \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间情况；

(2)、若函数 $f (x) = a x + \ln x^{2} (a \neq 0)$ 有且只有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $e - 1 < | x_{1} + x_{2} | < e - \frac{1}{2}$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos θ \\ y = \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到曲线 $C_{1}$ .以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $4 ρ \cos θ + 3 ρ \sin θ - 10 = 0$ .

(1)、写出曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；

(2)、曲线 $C_{1}$ 上是否存在不同的两点 $M (ρ_{1} ， θ_{1})$ ， $N (ρ_{2} ， θ_{2})$ （以上两点坐标均为极坐标， $ρ_{1} > 0$ ， $ρ_{2} > 0$ ， $0 \leq θ_{1} < 2 π$ ， $0 \leq θ_{2} < 2 π$ ），使点M、N到l的距离都为1？若存在，求出 $| θ_{1} - θ_{2} |$ 的值；若不存在，请说明理由.

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23. 设函数 $f (x) = \cos x + | a - 2 | + | a + 1 |$ .

(1)、若 $f (\frac{π}{3}) > \frac{11}{2}$ ，求实数a的取值范围.

(2)、证明：对于任意的 $x \in R$ ， $f (x) \geq | a - 2 | - | \frac{1}{4 a} - 1 |$ 成立.

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