江西省南昌市2020届高三理数第二次模拟试卷

试卷更新日期：2020-07-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $z_{1} = 1 + \sqrt{3} i ， z_{2} = \sqrt{3} - i ， z = z_{1} \cdot z_{2}$ ，则 $| z |$ 等于（）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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2. 集合 $A = {y | y = \sqrt{4 - x^{2}} ， x \in N} ， B = {x \in N | \sqrt{4 - x^{2}} \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${0 ， \sqrt{3} ， 2}$ D、 $\emptyset$

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3. 已知 $a ， b ， c$ 是三条不重合的直线，平面 $α ， β$ 相交于直线c， $a \subset α ， b \subset β$ ，则“ $a ， b$ 相交”是“ $a ， c$ 相交”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 1 ， x \leq 1 \\ \ln x ， x > 1 \end{array}$ ，则不等式 $f (x) > 1$ 的解集是（）

A、 $(1 ， e)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(2 ， e)$ D、 $(e ， + \infty)$

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5. 已知 $△ A B C$ 中角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 2 c ， \sin A = 2 \cos 2 C$ ，则角A等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为不共线的两个单位向量，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影为 $- \frac{1}{2}$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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7. 函数 $f (x) = \frac{x \ln x}{e^{x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 直线 $2 x \cdot \sin θ + y = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{5} y + 2 = 0$ 截得最大弦长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 的部分图象如图所示，则 $f (0) =$ （）

A、 $- \sqrt{6}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{2}$

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10. 春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳.19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件.图形如图所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A处测得B处的仰角为37度，在A处测得C处的仰角为45度，在B处测得C处的仰角为53度，A点所在等高线值为20米，若BC管道长为50米，则B点所在等高线值为（）（参考数据 $\sin 37^{°} = \frac{3}{5}$ ）

A、30米 B、50米 C、60米 D、70米

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11. 已知F是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，直线 $y = \sqrt{3} x$ 交双曲线于A，B两点，若 $∠ A F B = \frac{2 π}{3}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin x + \cos x - a (x - \frac{3 π}{4}) (a > 0)$ 有且只有三个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，则 $\tan (x_{3} - x_{2})$ 属于（）

A、 $(0 ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{2} ， π)$ C、 $(\frac{3 π}{2} ， + \infty)$ D、 $(π ， \frac{3 π}{2})$

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二、填空题

13. 若变量x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \geq | x | - 1 \\ x - 3 y + 1 \geq 0 \end{array}$ ，则目标函数 $z = x + y$ 的最小值为.

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14. 已知梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C ， A D = \sqrt{3} ， A B = 4 ， ∠ A B C = 60^{°} ， ∠ A C B = 45^{°}$ ，则 $D C =$ .

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15. 已知 $(x - 1) {(2 x - 1)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ ，则 $a_{2}$ 等于.

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16. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A C$ 是边长为3的等边三角形，点M是 $△ P A C$ 的重心，过点M作与平面PAC垂直的平面 $α$ ，平面 $α$ 与截面PAC交线段的长度为2，则平面 $α$ 与正四棱椎 $P - A B C D$ 表面交线所围成的封闭图形的面积可能为.（请将可能的结果序号填到横线上）①2；② $2 \sqrt{2}$ ；③3； ④ $2 \sqrt{3}$ .

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d (d \neq 0)$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 .（从① $S_{10} = 5 (a_{10} + 1)$ ）；② $a_{1}, a_{2}, a_{6}$ 成等比数列；③ $S_{5} = 35$ ，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）
（I）求 $a_{n}$ ；

（Ⅱ）若 $b_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 如图所示，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是以 $A B ， C D$ 为底边的等腰梯形，且 $A B = 2 A D = 4 ， ∠ D A B = 60^{°} ， A D ⊥ D_{1} D$ .

（I）求证：平面 $D_{1} D B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

（Ⅱ）若 $D_{1} D = D_{1} B = 2$ ，求直线AB与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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19. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上任意一点（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为 $\frac{1}{9}$ .
（I）求双曲线渐近线的方程；

（Ⅱ）过椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > n > 0)$ 上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于 $M ， N$ 两点，且 $| P M |^{2} + | P N |^{2} = 5$ ，是否存在 $m ， n$ 使得该椭圆的离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，若存在，求出椭圆方程：若不存在，说明理由.

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20. 已知函数 $f (x) = x \ln (a x) + \frac{2}{e}$ （ $a \in R$ ，且 $a \neq 0$ ，e为自然对数的底）.
（I）求函数 $f (x)$ 的单调区间

（Ⅱ）若函数 $g (x) = f (x) - e^{- a}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 有两个不同零点，求a的取值范围.

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21. 某班级共有50名同学（男女各占一半），为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，将同学随机分成25组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分.最后25组同学得分如下表：

组别号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
男同学得分	5	4	5	5	4	5	5	4	4	4	5	5	4
女同学得分	4	3	4	5	5	5	4	5	5	5	5	3	5
分差	1	1	1	0	-1	0	1	-1	-1	-1	0	2	-1

组别号	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
男同学得分	4	3	4	4	4	4	5	5	5	4	3	3
女同学得分	5	3	4	5	4	3	5	5	3	4	5	5
分差	-1	0	0	-1	0	1	0	0	2	0	-2	-2

（I）完成 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有90%的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关；

（Ⅱ）某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，首先根据前20组男女同学的分差确定 $μ$ 和 $σ$ ，然后根据后面5组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面5组男女同学分差与 $μ$ 的差的绝对值分别为 $x_{i} (i = 1, 2, 3, 4, 5)$ ，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型.①存在 $x_{i} \geq 3 σ$ ；②记满足 $2 σ < x_{i} < 3 σ$ 的i的个数为k，在服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ 的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中落在区间 $(μ - 3 σ, μ - 2 σ) \cup (μ + 2 σ, μ + 3 σ)$ 内的个体数大于或等于k的概率为P， $P \leq 0.003$ .

试问该课题研究小组是否会接受该模型.

$P (K^{2} \geq k)$	0.10	0.05	0.010
$k$	2.706	3.841	6.635

参考公式和数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$\sqrt{0.8} \approx 0.894, \sqrt{0.9} \approx 0.949, {0.957}^{5} \approx 0.803, 43 \times {0.957}^{4} \approx 36$ ， $43 \times 43 \times {0.957}^{3} \approx 1.62 \times 10^{3}$ ；若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，有 $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.9974$ .

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22. 平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为 $(1, 0)$ .以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求抛物线E的极坐标方程；

（Ⅱ）过点 $A (3, 2)$ 倾斜角为 $α$ 的直线l交E于M，N两点，若 $| A N | = 2 | A M |$ ，求 $\tan α$ .

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23. 已知 $f (x) = | a x - \frac{1}{x} | + | x - \frac{a}{x} |$ ， $g (x) = | x - 2 a | - | x - 2 | (a \in R)$ .
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < g (x) + 3$ 的解集；

（Ⅱ）求证： $f (x) \geq g (x)$ .

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