江西省九江市2020届高三理数二模试卷

试卷更新日期：2020-07-02 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | x \geq - 1}$ ， $B = {x | x^{2} < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 ${x | - 1 \leq x < 2}$ B、 ${x | - 1 \leq x < \sqrt{2}}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${0, 1}$

查看试题解析
2. 已知复数z满足 $z (3 - i) = 10$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 3 - i$ B、 $- 3 + i$ C、 $3 - i$ D、 $3 + i$

查看试题解析
3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} + a_{3} = \frac{5}{2}$ ， $S_{4} = \frac{15}{2}$ ，则 $a_{1} =$ （）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

查看试题解析
4. 已知 $P (2, 2)$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，抛物线C的焦点为F，则 $| P F | =$ （）．

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、 $\frac{7}{2}$

查看试题解析
5. 将函数 $y = 2 \cos (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $f (x)$ ，则函数 $y = \frac{f (x)}{x \sin x}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 已知 $0 < a < b < 1$ ，则下列结论正确的是（）．

A、 $\log_{a} 2 < \log_{b} 2$ B、 $\log_{a} b > \log_{b} a$ C、 $a^{b} < b^{a}$ D、 $a^{a} < b^{b}$

查看试题解析
7. 若 $4^{25} + a (a \in R)$ 能被9整除，则 $| a |$ 的最小值为（）．

A、3 B、4 C、5 D、6

查看试题解析
8. 第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（）．

A、 $20^{°}$ B、 $28^{°}$ C、 $38^{°}$ D、 $48^{°}$

查看试题解析
9. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以原点O为圆心， $| O F_{1} |$ 为半径的圆与双曲线E的右支相交于A，B两点，若四边形 $A O B F_{2}$ 为菱形，则双曲线E的离心率为（）．

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

查看试题解析
10. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（）．

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

查看试题解析
11. 现有边长均为1的正方形､正五边形､正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ ， $l_{4}$ ，则（）

A、 $l_{1} < l_{2} < l_{3} < l_{4}$ B、 $l_{1} < l_{2} < l_{3} = l_{4}$ C、 $l_{1} = l_{2} = l_{3} = l_{4}$ D、 $l_{1} = l_{2} = l_{3} < l_{4}$

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = x - \ln x - 1$ ， $g (x) = \ln | x |$ ， $F (x) = f [g (x)]$ ， $G (x) = g [f (x)]$ ，给出以下四个命题：① $y = F (x)$ 为偶函数；② $y = G (x)$ 为偶函数；③ $y = F (x)$ 的最小值为0；④ $y = G (x)$ 有两个零点．其中真命题的是（）．

A、②④ B、①③ C、①③④ D、①④

查看试题解析

二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

查看试题解析
14. 设x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 2 \leq 0 \\ 2 x - y + 2 \geq 0 \\ y \geq x \end{array}$ ，则 $z = 3 x - 2 y$ 的最大值是.

查看试题解析
15. 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为 $\sqrt{10}$ 的正四棱锥 $P - A B C D$ 中，大球 $O_{1}$ 内切于该四棱锥，小球 $O_{2}$ 与大球 $O_{1}$ 及四棱锥的四个侧面相切，则小球 $O_{2}$ 的体积为.

查看试题解析
16. 已知单调数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} + S_{n + 1} = n^{2} + n$ ，则首项 $a_{1}$ 的取值范围是．

查看试题解析

三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a > b > c$ ．已知 $\sin A \cos B - \cos C \sin B$ $= \sin 2 B - \sin A$ ．
（Ⅰ）求证：a，b，c成等差数列；

（Ⅱ）若 $b = 5$ ， $\sin B = \frac{5 \sqrt{3}}{14}$ ，求 $a$ ， $c$ 的值．

查看试题解析
18. 如图所示的几何体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 是正方形，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是梯形， $B_{1} C_{1}$ $∥$ $B C$ ，且 $B_{1} C_{1} = \frac{1}{2} B C$ ， $A B = A C$ ，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ．

（Ⅰ）求证：平面 $A_{1} C C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

（Ⅱ）若 $∠ C A B = 120^{°}$ ，二面角 $C - A_{1} C_{1} - B_{1}$ 为 $120^{°}$ ，求 $\frac{A A_{1}}{A B}$ 的值．

查看试题解析
19. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点， $A F_{1}$ ， $B F_{1}$ 的中点分别为E，F， $△ O E F$ 的周长为 $2 \sqrt{2}$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设 $△ A B F_{2}$ 的重心为G，若 $| O G | = \frac{\sqrt{2}}{6}$ ，求直线l的方程．

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = x \ln x + x^{2} - a x (a \in R)$ ．
（Ⅰ）若 $a = 3$ ，求 $f (x)$ 的单调性和极值；

（Ⅱ）若函数 $y = f (x) + \frac{1}{e^{x}}$ 至少有1个零点，求a的取值范围．

查看试题解析

21. 羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权．每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现

20 : 20

，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现

29 : 29

，先取得30分的一方该局获胜．现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为

p

；乙发球时，甲得分的概率为

q

．

（Ⅰ）若 $p = q = \frac{2}{3}$ ，记“甲以 $21 : i (i \leq 19, i \in N)$ 赢一局”的概率为 $P (A_{i})$ ，试比较 $P (A_{9})$ 与 $P (A_{10})$ 的大小；

（Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如下 $2 \times 2$ 列联表部分数据．若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为 $p$ ， $q$ 的值．

	甲得分	乙得分	总计
甲发球		50	100
乙发球	60		90
总计			190

①完成 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？

②已知在某局比赛中，双方战成 $27 : 27$ ，且轮到乙发球，记双方再战X回合此局比赛结束，求X的分布列与期望．

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

临界值表供参考：

$P (K^{2} \geq k)$	0.15	0.10	0.05	0.010	0.001
k	2.072	2.706	3.841	6.635	10.828

查看试题解析

22. 在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + 2 \cos φ \\ y = 2 \sin φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的极坐标方程分别为 $θ = θ_{0}$ ， $θ = θ_{0} + \frac{π}{2} (θ_{0} \in (0, π))$ ， $l_{1}$ 交曲线E于点A，B， $l_{2}$ 交曲线E于点C，D．

(1)、求曲线E的普通方程及极坐标方程；

(2)、求 $| B C |^{2} + | A D |^{2}$ 的值.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = \frac{| | x + 1 | - | 2 - x | |}{| 2 x - 1 |}$ 的最大值为m.

(1)、求m的值；

(2)、若a，b，c为正数，且 $a + b + c = m$ ，求证： $\frac{b c}{a} + \frac{a c}{b} + \frac{a b}{c} \geq 1.$

查看试题解析