河南省驻马店市2020届高三理数第二次模拟测试试卷

试卷更新日期：2020-07-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若 $z = (3 - i) (a + 2 i) (a \in R)$ 为纯虚数，则z＝（）

A、 $\frac{16}{3} i$ B、6i C、 $\frac{20}{3} i$ D、20

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2. 已知集合A＝{x∈N|x²＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则 $B \cup (∁_{A} C)$ ＝（）

A、{2，3，4，5} B、{2，3，4，5，6} C、{1，2，3，4，5，6} D、{1，3，4，5，6，7}

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |＝1，| $\vec{b}$ |＝2，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°，则 $| \vec{a} - 3 \vec{b} |$ ＝（）

A、 $\sqrt{11}$ B、 $\sqrt{37}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $\sqrt{43}$

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4. 若双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 的一条渐近线方程为 $3 x + 2 y = 0$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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5. 已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）

A、PA，PB，PC两两垂直 B、三棱锥P-ABC的体积为 $\frac{8}{3}$ C、 $| P A | = | P B | = | P C | = \sqrt{6}$ D、三棱锥P-ABC的侧面积为 $3 \sqrt{5}$

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6. 山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位： $m m$ ）服从正态分布 $N (80, 5^{2})$ ，则直径在 $(75, 90]$ 内的概率为（）
附：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X ⩽ μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X ⩽ μ + 2 σ) = 0.9544$ .

A、0.6826 B、0.8413 C、0.8185 D、0.9544

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7. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) + b (ω > 0)$ ， $f （ \frac{π}{8} + x ） = f （ \frac{π}{8} - x ）$ ，且 $f （ \frac{π}{8} ） = 5$ ，则 $b =$ （）

A、3 B、3或7 C、5 D、5或8

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8. 函数 $f (x) = | x | - \frac{\ln | x |}{x^{2}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 设不等式组 ${\begin{array}{l} x + y \geq 0 \\ x - \sqrt{3} y \leq 0 \end{array}$ 表示的平面区域为 $Ω$ ，若从圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 的内部随机选取一点 $P$ ，则 $P$ 取自 $Ω$ 的概率为（）

A、 $\frac{5}{24}$ B、 $\frac{7}{24}$ C、 $\frac{11}{24}$ D、 $\frac{17}{24}$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x} + 3, x \leq 0 \\ 2^{x} + \log_{9} x^{2} - 9, x > 0 \end{array}$ ，则函数 $y = f (f (x))$ 的零点所在区间为（）

A、 $(3, \frac{7}{2})$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(\frac{7}{2}, 4)$ D、 $(4, 5)$

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11. 已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y²＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y²＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（）

A、λ＜﹣16 B、λ＝﹣16 C、﹣12＜λ＜0 D、λ＝﹣12

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12. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（）

A、56383 B、57171 C、59189 D、61242

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二、填空题

13. ${(2 x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{8}$ 展开式的第5项的系数为.

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14. 函数 $f (x) = \sqrt{x} (\sqrt{x} - 4) + x - 1$ 的值域为.

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15. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} \neq 0$ ，曲线 $y = x^{3}$ 在点 $(a_{n}, a_{n}^{3})$ 处的切线经过点 $(a_{n + 1}, 0)$ ，下列四个结论：① $a_{2} = \frac{2}{3}$ ；② $a_{3} = \frac{1}{3}$ ；③ $\sum_{i = 1}^{4} a_{i} = \frac{65}{27}$ ；④数列 ${a_{n}}$ 是等比数列；其中所有正确结论的编号是.

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16. 在矩形 $A B C D$ 中， $B C ＝ 4$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，将 $△ A B M$ 和 $△ D C M$ 分别沿 $A M$ ， $D M$ 翻折，使点 $B$ 与 $C$ 重合于点 $P$ .若 $∠ A P D ＝ 150 °$ ，则三棱锥 $M ﹣ P A D$ 的外接球的表面积为.

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三、解答题

17. a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a＝3， $c \sin C = a \sin A + b \sin B$ ，且B＝60°.

(1)、求△ABC的面积；

(2)、若D，E是BC边上的三等分点，求 $\sin ∠ D A E$ .

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18. 如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直， $A D ⊥ C D$ ， $A B$ // $C D$ ， $A B = 3 ， A D = C D = 4 ， A E = 5 ， A F = 3 \sqrt{2}$ .

(1)、证明： $D F$ //平面BCE.

(2)、设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ，求 $\cos 2 θ$ .

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19. 追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（

AQI

）的检测数据，结果统计如下：

$AQI$	$[0, 50]$	$(50, 100]$	$(100, 150]$	$(150, 200]$	$(200, 250]$	$(250, 300]$
空气质量	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染
天数	6	14	18	27	25	20

(1)、从空气质量指数属于

[0, 50]

，

(50, 100]

的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率.

(2)、已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为

y = {\begin{array}{l} 0, 0 ⩽ x ⩽ 100, \\ 220, 100 < x ⩽ 250, \\ 1480, 250 < x ⩽ 300. \end{array}

假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为

\frac{1}{6}

，

\frac{1}{3}

，

\frac{1}{6}

，

\frac{1}{12}

，

\frac{1}{12}

\frac{1}{6}

,9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.

（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为 $X$ 元，求 $X$ 的分布列；

（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1, \frac{3}{2})$ ，过坐标原点 $O$ 作两条互相垂直的射线与椭圆 $C$ 分别交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、证明：当 $a^{2} + 9 b^{2}$ 取得最小值时，椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(2)、若椭圆 $C$ 的焦距为2，是否存在定圆与直线 $M N$ 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \ln (x + 1) + \sin x + 1$ ，函数 $g (x) = a x - 1 - b \ln x$ （ $a ， b \in R ， a b \neq 0$ ）.

(1)、讨论 $g (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \leq 3 x + 1$ .

(3)、证明：当 $x > - 1$ 时， $f (x) < (x^{2} + 2 x + 2) e^{\sin x}$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 + 2 \cos φ \\ y = 2 \sin φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点 $P$ 的直角坐标为 $(- 2, 0)$ ，过 $P$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、若 $l$ 的斜率为2，求 $l$ 的极坐标方程和曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、求 $\overset{⇀}{P M} \cdot \overset{⇀}{P N}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | 2 x + 1 |$ ，记不等式 $f (x) < 4$ 的解集为 $M$ .

(1)、求 $M$ ；

(2)、设 $a, b \in M$ ，证明： $| a b | - | a | - | b | + 1 > 0$ .

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