河南省郑州市2020届高三理数第三次质量预测试卷

试卷更新日期：2020-07-02 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x - 2 \leq 0}$ ， $B = {x | \log_{2} x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x \leq 2}$ B、 ${x | x < 1}$ C、 ${x | 0 < x < 1}$ D、 ${x | 0 < x \leq 2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + \sqrt{3} i) z = 1 + i$ ，则复平面内与复数z对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 函数 $f (x) = 2 \sin x + \sin | x | + | \sin x |$ 在 $[- 2 π ， 2 π]$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若两个非零向量 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ ，满足 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | = 2 | \overset{⇀}{a} |$ ，则向量 $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ 与 $\overset{⇀}{a}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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5. 执行如图所示的程序框图，输入 n=5，m=3 ，那么输出的p值为（）

A、360 B、60 C、36 D、12

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6. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}}, b = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}}, c = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3},$ 则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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7. 某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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8. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立70年时为（）

A、丙酉年 B、戊申年 C、己申年 D、己亥年

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9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（）

A、 $\sqrt{6 π}$ B、 $8 \sqrt{6 π}$ C、 $32 \sqrt{3}$ π D、 $64 \sqrt{6} π$

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10. 将函数 $f (x) = cos (2 x + φ)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可得函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 的图象关于原点对称，则 $| φ |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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11. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点 $F$ 作直线 $y = - \frac{b}{a}$ $x$ 的垂线，垂足为 $A$ ，交双曲线的左支于B点，若 $\vec{F B} = 2 \vec{F A}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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12. 已知函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上可导且 $f (0) = 1$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $\frac{f^{'} (x) - f (x)}{x - 1} > 0$ ，对于函数 $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ ，下列结论错误的是（）

A、函数 $g (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上为单调递增函数 B、 $x = 1$ 是函数 $g (x)$ 的极小值点 C、函数 $g (x)$ 至多有两个零点 D、 $x \leq 0$ 时，不等式 $f (x) \leq e^{x}$ 恒成立

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二、填空题

13. 某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m+n=

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14. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 4 \geq 0 ， \\ x + 2 y \geq 0 ， \\ x \leq 1 ， \end{array}$ 则 $z = 3 x + y$ 的最大值为

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15. 点 $A (3, 2)$ 是圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ 内一点，则过点A的最短弦长为．

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16. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $\frac{3}{2}$ ，公比为 $- \frac{1}{2}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且对任意的 $n \in$ $N$ ^* ，都有 $A \leq 2 S_{n} - \frac{1}{S_{n}} \leq B$ 恒成立，则 $B - A$ 的最小值为．

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三、解答题

17. $Δ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ，设 $2 {(\sin B - \sin C)}^{2} + \cos (B - C) = 2 \sin^{2} A - \cos A$ .
（Ⅰ）求A

（Ⅱ）求 $\frac{b + c}{a}$ 的取值范围

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18. 依法纳税是公民应尽的义务，随着经济的发展，个人收入的提高，自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率进行了调整，调整前后的计算方法如下表，2018年12月22日国务院又印发了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》(以下简称《办法》)，自2019年1月1日起施行，该《办法》指出，个人所得税专项附加扣除，是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等6项专项附加扣除.简单来说，2018年10月1日之前，“应纳税所得额”

=

“税前收入”

-

“险金”

-

“基本减除费用(统一为3500元)”

-

“依法扣除的其他扣除费用”；自2019年1月1日起，“应纳税所得额”

=

“税前收人”

-

“险金”

-

“基本减除费用(统一为5000元)”

-

“专项附加扣除费用”

-

“依法扣除的其他扣除费用.

调整前后个人所得税税率表如下：

个人所得税税率表（调整前）			个人所得税税率表（调整后）
级数	全月应纳税所得额	税率（%）	级数	全月应纳税所得额	税率（%）
1	不超过1500元的部分	3	1	不超过3000元的部分	3
2	超过1500元至4500元的部分	10	2	超过3000元至12000元的部分	10
3	超过4500元至9000元的部分	20	3	超过12000元至25000元的部分	20
…	…	…	…	…	…

某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，扣除险金后，制成下面的频数分布表：

收入（元）

$[3000 ，$

$5000)$

$[5000 ，$

$7000)$

$[7000 ，$

$9000)$

$[9000 ，$

$11000)$

$[11000 ，$

$13000)$

$[13000 ，$

$1 5000)$

人数

（Ⅰ）估算小李公司员工该月扣除险金后的平均收入为多少?

（Ⅱ）若小李在该月扣除险金后的收入为10000元，假设小李除住房租金一项专项扣除费用1500元外，无其他依法扣除费用，则2019年1月1日起小李的个人所得税，比2018年10月1日之前少交多少?

（Ⅲ）先从收入在[9000，11000)及[11000，13000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宜讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率.

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19. 如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面， $Δ A B E$ 和 $Δ A D F$ 均为等腰直角三角形，且 $∠ B A E = ∠ A F B = 90^{°} ，$ 若平面 $A B C D$ ⊥平面 $A E B F .$

（Ⅰ）证明：平面 $B C F ⊥$ 平面ADF

（Ⅱ）问在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面 $C D F ?$ 若存在，求出此时三棱锥G一ABE与三棱锥 $G — A D F$ 的体积之比，若不存在，请说明理由.

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20. 已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，直线l： $y = 2 x - 2,$ 直线l与E的交点为A，B，同时 $| A F | + | B F | = 8,$ 直线m∥l.直线m与E的交点为C、D，与y轴交于点P.
（Ⅰ）求抛物线E的方程

（Ⅱ）若 $\vec{C P} = 4 \vec{D P},$ 求|CD|的长

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - a \sqrt{x}$ ，
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）存在正实数k使得函数 $g (x) = k x - 1 + f (x)$ 有三个零点，求实数a的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为C₁: ${\begin{array}{l} x = 1 + t \cos θ, \\ y = t \sin θ \end{array}$ （t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为(1，0)，曲线 $C_{2} : ρ^{2} =$ $\frac{12}{3 \cos^{2} θ + 4 \sin^{2} θ} .$
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程;

（Ⅱ）若曲线C₁与曲线C₂交于A，B两点求|PA|+|PB|的取值范围

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23. 已知函数 $f (x) = | m x + 1 | + | 2 x - 1 |$ ， $m \in R$ .
（Ⅰ）当 $m = 3$ 时，求不等式 $f (x) > 4$ 的解集；

（Ⅱ）若 $0 < m < 2$ 且对任意 $x \in R$ ， $f (x) \geq \frac{3}{2 m}$ 恒成立，求m的最小值.

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