河南省郑州市2020届高三理数第二次质量预测试卷

试卷更新日期：2020-07-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | a + 1 \leq x \leq 3 a - 5}$ ， $B = {x | 3 < x < 22}$ ，且 $A \cap B = A$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 9]$ B、 $(- \infty, 9)$ C、 $[2, 9]$ D、 $(2, 9)$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 + i}{i^{3}}$ （ $i$ 其中是虚数单位，满足 $i^{2} = - 1$ ），则 $z$ 的共轭复数是（）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $- 1 + 2 i$

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3. 郑州市2019年各月的平均气温 $(℃)$ 数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）

A、20 B、21 C、20.5 D、23

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4. 圆 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 12)}^{2} = 4$ 关于直线 $x - y + 8 = 0$ 对称的圆的方程为（）

A、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ B、 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 4$ D、 ${(x + 6)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 4$

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5. 在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（）

A、30米 B、20米 C、 $15 \sqrt{2}$ 米 D、15米

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6. 若 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $2 \cos 2 α = \sin (\frac{π}{4} - α)$ ，则 $\sin 2 α$ 的值为（）

A、 $- \frac{7}{8}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $- \frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{8}$

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7. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x的取值范围是（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(4 ， 10]$ C、 $(2 ， 4]$ D、 $(4 ， + \infty)$

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8. 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示：劳伦茨曲线为直线 $O L$ 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线 $O K L$ 时，表示收入完全不平等记区域 $A$ 为不平等区域，a表示其面积，S为 $△ O K L$ 的面积．将 $G i n i = \frac{a}{S}$ ，称为基尼系数．对于下列说法：

① $G i n i$ 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为 $y = f (x)$ ，则对 $\forall x \in (0 ， 1)$ ，均有 $\frac{f (x)}{x} > 1$ ；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 $y = x^{2} (x \in [0 ， 1])$ ，则 $G i n i = \frac{1}{4}$ ；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 $y = x^{3} (x \in [0 ， 1])$ ，则 $G i n i = \frac{1}{2}$ ．其中不正确的是：（）

A、①④ B、②③ C、①③④ D、①②④

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9. 2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（）

A、96 B、84 C、120 D、360

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{13}$ 成等比数列，若 $a_{1} = 1$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则 $\frac{2 S_{n} + 6}{a_{n} + 3}$ 的最小值为（）

A、4 B、3 C、 $2 \sqrt{3} - 2$ D、2

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11. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A、 $\sqrt{6} π$ B、 $2 π$ C、 $6 π$ D、 $24 π$

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12. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点 $F$ 作直线 $y = - \frac{b}{a}$ $x$ 的垂线，垂足为 $A$ ，交双曲线的左支于B点，若 $\vec{F B} = 2 \vec{F A}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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二、填空题

13. 在 ${(x + \frac{2}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中，常数项为．（用数字作答）

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14. 已知函数 $f (x) = - \frac{π}{2 x}$ ， $g (x) = x \cdot \cos x - \sin x$ ，当 $x \in [- 3 π ， 3 π]$ 且 $x \neq 0$ 时，方程 $f (x) = g (x)$ 根的个数是．

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15. 已知直角梯形 $A B C D$ ， $A D // B C$ ， $∠ B A D = 90 °$ ． $A D = 2$ ， $B C = 1$ ， $P$ 是腰 $A B$ 上的动点，则 $| \vec{P C} + \vec{P D} |$ 的最小值为．

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16. 设函数 $y = {\begin{array}{l} - x^{3} + x^{2} ， x < e \\ \frac{\ln x}{m} ， x \geq e \end{array}$ 的图象上存在两点 $P ， Q$ ，使得 $△ P O Q$ 是以 $O$ 为直角顶点的直角三角形（其中 $O$ 为坐标原点），且斜边的中点恰好在 $y$ 轴上，则实数 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 为公差不为零的等差数列， $S_{7} = 77$ ，且满足 $a_{11}^{2} = a_{1} \cdot a_{61}$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{1}{b_{n + 1}} - \frac{1}{b_{n}} = a_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $b_{1} = - \frac{1}{3}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，线成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．

（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有 $90 %$ 的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；

（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？

（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用 $ξ$ 表示所选4人中青春组的人数，试写出 $ξ$ 的分布列，并求出 $ξ$ 的数学期望．

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ；其中 $n = a + b + c + d$

独立性检验临界表：

$P (K^{2} > k_{0})$

0.100

0.050

0.010

$K$

2.706

3.841

6.635

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，沿对角线 $A C$ 将 $△ A C D$ 折起，使得点D在平面 $A B C$ 内的射影恰好落在边 $A B$ 上．

（Ⅰ）求证：平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ；

（Ⅱ）当 $\frac{A B}{A D} = 2$ 时，求二面角 $D - A C - B$ 的余弦值．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 内，动点A到定点 $F (3, 0)$ 的距离与A到定直线 $x = 4$ 距离之比为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（Ⅰ）求动点A的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设点 $M, N$ 是轨迹C上两个动点直线 $O M, O N$ 与轨迹C的另一交点分别为 $P, Q$ 且直线 $O M, O N$ 的斜率之积等于 $- \frac{1}{4}$ ，问四边形 $M N P Q$ 的面积S是否为定值？请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{a}$ ， $g (x) = \frac{x + 1}{x} (x > 0)$
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x) \cdot g (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数 $F (x) = f (x) - \frac{1}{g (x)}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性．

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22. 在极坐标系中，圆C的方程为 $ρ = 2 a \sin θ (a > 0)$ ．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 t + 1, \\ y = 4 t + 3 \end{array}$ （ $t$ 为参数）．
（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线 $l$ 的普通方程，

（Ⅱ）若直线l与圆C交于 $A, B$ 两点，且 $| A B | \geq \sqrt{3} a$ ．求实数a的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | - a | x - 1 |$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，解不等式 $f (x) > 5$ ；

(2)、若 $f (x) \leq a | x + 3 |$ ，求 $a$ 的最小值．

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$P (K^{2} > k_{0})$	0.100	0.050	0.010
$K$	2.706	3.841	6.635