河南省许昌济源平顶山2020届高三理数第二次质量检测试卷

试卷更新日期：2020-07-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 3 x - 18 < 0}$ ， $B = {x | \ln x > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, - 3)$ B、 $(- 3, 1)$ C、 $(1, 6)$ D、 $(6, + \infty)$

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2. 复数 $z = \frac{1 + 2 i}{3 - 4 i}$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 等于（）

A、 $- \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ C、 $- i$ D、 $\frac{4}{3} - i$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，函数 $y = x^{2} - 5 x + 6$ 的零点分别是 $a_{2}$ ， $a_{8}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、2 B、-2 C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{6}$

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4. 已知 $a = \sin 2$ ， $b = \log_{\frac{2}{3}} 5$ ， $c = 3^{0.5}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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5. 给出下列四个结论：
①若 $f (x)$ 是奇函数，则 $2 f (x)$ 也是奇函数；②若 $f (x)$ 不是正弦函数，则 $f (x)$ 不是周期函数；③“若 $θ = \frac{π}{3}$ ，则 $\sin θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .”的否命题是“若 $θ \neq \frac{π}{3}$ ，则 $\sin θ \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$ .”；④若 $p$ ： $\frac{1}{x} \leq 1$ ； $q$ ： $\ln x \geq 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件.其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 在 $△ A B C$ 中，D、P分别为 $B C$ 、 $A D$ 的中点，且 $\vec{B P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 过双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右顶点作 $x$ 轴的垂线，与C的一条渐近线交于点A，以C的右焦点为圆心的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、2

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8. 自新型冠状病毒疫情爆发以来，人们时刻关注疫情，特别是治愈率，治愈率 $=$ 累计治愈人数／累计确诊人数，治愈率的高低是“战役”的重要数据，由于确诊和治愈人数在不断变化，那么人们就非常关心第n天的治愈率，以此与之前的治愈率比较，来推断在这次“战役”中是否有了更加有效的手段，下面是一段计算治愈率的程序框图，请同学们选出正确的选项，分别填入①②两处，完成程序框图.（）
$g_{i}$ ：第i天新增确诊人数； $y_{i}$ ：第 $i$ 天新增治愈人数； $l_{i}$ ：第i天治愈率

A、 $l_{i} = \frac{g_{i}}{y_{i}}$ ， $i = i + 1$ B、 $l_{i} = \frac{y_{i}}{g_{i}}$ ， $i = i + 1$ C、 $l_{i} = \frac{S}{Z}$ ， $i = i + 1$ D、 $l_{i} = \frac{Z}{S}$ ， $i = i + 1$

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9. 某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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10. 已知函数 $f (x) = \cos (ω x - \frac{π}{2}) + \sqrt{3} \cos (π + ω x)$ 的图象过点 $(\frac{5 π}{3}, 2)$ ，则要得到函数 $f (x)$ 的图象，只需将函数 $y = 2 \sin ω x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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11. 已知 $n \in N^{*}$ ，设 $x_{n}$ 是关于 $x$ 的方程 $n x^{3} + 2 x - n = 0$ 的实数根，记 $a_{n} = [(n + 1) x_{n}]$ ， $(n = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot)$ .（符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）.则 $\frac{a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2021}}{2020} =$ （）

A、1010.5 B、1010 C、1011.5 D、1011

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12. 已知e为自然对数的底数，定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x) - f (x) < 2 e^{x}$ ，其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，若 $f (2) = 4 e^{2}$ ，则 $f (x) > 2 x e^{x}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 现有排成一列的5个花盆，要将甲、乙两种花分别栽种在其中的2个花盆里，若要求没有3个空花盆相邻，则不同的种法总数是（用数字作答）.

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14. ${(\frac{x}{3} - \frac{3}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式奇数项的二项式系数和为32，则该展开式的中间项是.

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15. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 3$ ，且 $\cos A = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，以 $B D$ 为折痕，将 $△ B D C$ 折起，使点 $C$ 到达点 $E$ 处，且满足 $A E = A D$ ，则三棱锥 $E - A B D$ 的外接球的表面积为.

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16. 对于数列 ${a_{n}}$ 定义： $△_{n}^{(1)} = a_{n + 1} - a_{n} (n \in N^{*})$ ， $△_{n}^{(2)} = △_{n + 1}^{(1)} - △_{n}^{(1)} (n \in N^{*})$ ， $△_{n}^{(3)} = △_{n + 1}^{(2)} - △_{n}^{(2)} (n \in N^{*})$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $△_{n}^{(k)} = △_{n + 1}^{(k - 1)} - △_{n}^{k - 1} (n \in N^{*})$ ，称数列 ${△_{n}^{(k)}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的 $k -$ 阶差分数列.如果 $△_{n}^{(k)} = d$ （常数） $(n \in N^{*})$ ，那么称数列 ${a_{n}}$ 是 $k -$ 阶等差数列.现在设数列 ${a_{n}}$ 是 $3 -$ 阶等差数列，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{2} = 9$ ， $a_{3} = 27$ ， $△_{n}^{(3)} = 6$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为.

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三、解答题

17. $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} a \cos C + 3 c \sin A = \sqrt{3} b$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $b = 1$ ，延长 $C B$ 至 $D$ .使 $B D = \sqrt{3} A B$ ，且 $C D = 4$ ，点 $E$ 在 $A D$ 上，且 $A E = 3 E D$ ，求 $△ A B E$ 的面积.

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 是边长为2的等边三角形且垂直于底面 $A B C D$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = 90 °$ ，E是 $P D$ 的中点.

(1)、求证：直线 $C E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、点M在棱 $P C$ 上，且二面角 $M - A B - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求直线 $B M$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值.

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19. 一家商场销售一种商品，该商品一天的需求量在 ${x | 10 \leq x \leq 29, x \in N}$ 范围内等可能取值，该商品的进货量也在 ${x | 10 \leq n \leq 29, n \in N}$ 范围内取值（每天进货1次）.这家商场每销售一件该商品可获利60元；若供不应求，可从其他商店调拨，销售一件该商品可获利40元；若供大于求，剩余的每处理一件该商品亏损20元.设该商品每天的需求量为 $x$ ，每天的进货量为 $n$ 件，该商场销售该商品的日利润为 $y$ 元.

(1)、写出这家商场销售该商品的日利润为y关于需求量x的函数表达式；

(2)、写出供大于求，销售 $n$ 件商品时，日利润 $y$ 的分布列；

(3)、当进货量n多大时，该商场销售该商品的日利润的期望值最大？并求出日利润的期望值的最大值.

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20. 已知函数 $f (x) = ln x - \frac{1}{2} a x^{2} + x ， a \in R$ .

(1)、令 $g (x) = f (x) - (a x - 1)$ ，求函数 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a = - 2$ ，正实数 $x_{1} ， x_{2}$ 满足 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + x_{1} x_{2} = 0$ ，证明： $x_{1} + x_{2} \geq \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆的左、右焦点， $P (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 为椭圆上一点，且 $| P F_{1} | = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设直线 $l : x = - 2$ ，过点 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线分别交直线 $l$ 、直线 $A B$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，当 $∠ M A N$ 最小时，求直线 $A B$ 的方程.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C$ 的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos α \\ y = \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是 $ρ (\sin θ + \sqrt{3} \cos θ) = 6 \sqrt{3}$ ，射线 $O M$ ： $θ = \frac{π}{3}$ 与圆C的交点为O、P两点， $O M$ 与直线l的交点为Q.

(1)、求圆C的极坐标方程；

(2)、求线段 $P Q$ 的长.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 |$ .

(1)、解不等式： $f (x) + f (x + 1) \geq 4$ ；

(2)、设 $g (x) = 2^{f (x)} + 2^{f (x + 1)}$ ，求 $g (x)$ 的最小值.

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