河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市) 2020届高三文数第一次模拟调研试卷

试卷更新日期：2020-07-01 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若复数z满足 $(1 + i) \bar{z} = 1 + 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
2. 集合 $M = {y | y = \sqrt{4 - x^{2}} ， x \in Z}$ 的真子集的个数为（）

A、7 B、8 C、31 D、32

查看试题解析
3. 五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

查看试题解析
4. 已知 $f (x) = {(\cos θ)}^{x}$ ， $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，设 $a = f (\frac{1}{2} \log_{2} \sqrt{7})$ ， $b = f (\log_{4} 3)$ ， $c = f (\log_{16} 5)$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > c > b$ B、 $c > a > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

查看试题解析
5. 已知 $cos (\frac{π}{2} + α) = \frac{3}{5},$ 且 $α \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}),$ 则 $tan α =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\pm \frac{3}{4}$

查看试题解析
6. 设函数 $f (x) = x \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ ，则函数的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
7. 已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：

根据该折线图可知，下列说法错误的是（）

A、该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B、该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低 C、该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益 D、该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元

查看试题解析
8. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} + \vec{b} | = | \overset{⇀}{a} - \vec{b} |$ ，且 $| \overset{⇀}{a} | = \sqrt{3}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则向量 $\overset{⇀}{b}$ 与 $\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

查看试题解析
9. 程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（）

A、84 B、56 C、35 D、28

查看试题解析
10. 已知点 $M$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上的一动点， $F$ 为抛物线的焦点， $A$ 是圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上一动点，则 $| M A | + | M F |$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

查看试题解析
11. 设锐角 $Δ A B C$ 的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且 $b = 2$ ， $A = 2 B$ ，则a的取值范围为（）

A、 $(2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{3})$ B、 $(2 ， 2 \sqrt{3})$ C、 $(2 \sqrt{2} ， 4)$ D、 $(0 ， 4)$

查看试题解析
12. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 的切线与双曲线的左支交于点P ，若 $| P F_{2} | = 2 | P F_{1} |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

查看试题解析

二、填空题

13. 曲线 $y = x \sin x$ 在点 $(π, 0)$ 处的切线方程为.

查看试题解析
14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 7$ ， $S_{6} = 63$ ，则 $a_{1}$ ＝．

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x + \cos ω x$ （ $ω > 0$ ），当 $| f (m) - f (n) | = 4$ 时， $| m - n |$ 的最小值为 $\frac{π}{3}$ ，若将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $φ$ （ $φ > 0$ ）个单位后所得函数图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小值为.

查看试题解析
16. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 3$ ，底面三边长分别为3，5，7，P是上底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所在平面内的动点，若三棱锥 $P - A B C$ 的外接球表面积为 $\frac{244 π}{3}$ ，则满足题意的动点 $P$ 的轨迹对应图形的面积为.

查看试题解析

三、解答题

17. 党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间

[80, 100]

的为优等品；指标在区间

[60, 80)

的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：

甲种生产方式：

指标区间	$[65, 70)$	$[70, 75)$	$[75, 80)$	$[80, 85)$	$[85, 90)$	$[90, 95]$
频数	5	15	20	30	15	15

乙种生产方式：

指标区间	$[70, 75)$	$[75, 80)$	$[80, 85)$	$[85, 90)$	$[90, 95)$	$[95, 100]$
频数	5	15	20	30	20	10

(1)、在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；

(2)、所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元.甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元.用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？

查看试题解析

18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d > 0$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 20$ ， $a_{3}, a_{5}, a_{8}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} + n$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
19. 如图在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $Δ P A D$ 为等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $P C D$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $Q$ 为线段 $P B$ 的中点，求三棱锥 $Q - P C D$ 的体积.

查看试题解析
20. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，离心率是 $e$ ，动点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 在椭圆 $C$ 上运动，当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴时， $x_{0} = 1 ， y_{0} = e$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、延长 $P F_{1} ， P F_{2}$ 分别交椭圆于点 $A ， B$ （ $A ， B$ 不重合）.设 ${\vec{A F}}_{1} = λ \vec{F_{1} P} ， \vec{B F_{2}} = μ \vec{F_{2} P}$ ，求 $λ + μ$ 的最小值.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x} (a \in R)$ .
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）令 $g (a) = \frac{a (k - 5) - 2}{a}$ ，若对任意的x＞0，a＞0，恒有f（x）≥g（a）成立，求实数k的最大整数.

查看试题解析
22. 心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系 $O x$ 中，方程 $ρ = a (1 - \sin θ)$ （ $a > 0$ ）表示的曲线 $C_{1}$ 就是一条心形线，如图，以极轴 $O x$ 所在的直线为 $x$ 轴，极点 $O$ 为坐标原点的直角坐标系 $x O y$ 中.已知曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \sqrt{3} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{3} + t \end{array}$ （ $t$ 为参数）.

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 三点，求线段 $A B$ 的长.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x - 2 |$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 7$ 的解集；

(2)、若 $f (x) ⩽ | x - 4 | + | x + 2 a |$ 的解集包含 $[0, 2]$ ，求a的取值范围.

查看试题解析