河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市) 2020届高三理数第二次联合调研检测试卷

试卷更新日期：2020-07-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | (x - 4) (x + 1) \geq 0}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- 1, 4]$ B、 $[- 1, 4)$ C、 $(- 1, 4)$ D、 $[- 1, 4]$

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2. 复数 $z_{1}$ 在复平面内对应的点为 $(2, 3)$ ， $z_{2} = - 2 + i$ （i为虚数单位），则复数 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $- \frac{8}{5}$ C、 $\frac{8}{5} i$ D、 $- \frac{8}{5} i$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，若点D满足 $\vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{4}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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4. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说.河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化，阴阳术数之源.其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为1的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $\frac{8}{25}$ D、 $\frac{9}{25}$

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5. 鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为

A、 $34 000 m m^{3}$ B、 $33 000 m m^{3}$ C、 $32 000 m m^{3}$ D、 $30 000 m m^{3}$

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6. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{8} - a_{5} = - 6$ ， $S_{9} - S_{4} = 75$ ，则 $S_{n}$ 取得最大值时 $n =$ （）

A、14 B、15 C、16 D、17

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7. 设 $a = \log_{4} 9$ ， $b = 2^{- 1.2}$ ， $c = {(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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8. 已知 $A (- 4 ， 4)$ ，O是坐标原点， $P (x ， y)$ 的坐标满足 ${\begin{array}{l} 2 x - y \leq 0 \\ y \geq 0 \\ x - 2 y + 3 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = \vec{O P} \cdot \vec{A P}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5} - 8$ C、 $- 3$ D、 $- \frac{31}{5}$

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9. 抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且倾斜角为60°的直线为l， $M (- 3, 0)$ ，若抛物线C上存在一点N，使 $M, N$ 关于直线l对称，则 $p =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{2 \sin x}{1 + 2 \sin x}$ ，将此函数图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（）
①绕着x轴上一点旋转 $180 °$ ；②以x轴为轴，作轴对称；③沿x轴正方向平移；④以x轴的某一条垂线为轴，作轴对称；

A、①③ B、③④ C、②③ D、②④

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，关于x的方程 $f (x) - \frac{1}{f (x)} = m$ 有三个不等实根，则实数m的取值范围是（）

A、 $(e - \frac{1}{e} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{e} - e ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， e - \frac{1}{e})$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{e} - e)$

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12. 下图是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 木块的直观图，其中 $P ， Q ， F$ 分别是 $D_{1} C_{1}$ ， $B C$ ， $A B$ 的中点，平面 $α$ 过点 $D$ 且平行于平面 $P Q F$ ，则该木块在平面 $α$ 内的正投影面积是（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

13. 在 $△ A O B$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} | = 2$ ，则 $△ A O B$ 的面积.

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14. 在 $(x + 1) {(x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，各项系数的和为512，则 $x^{2}$ 项的系数是.（用数字作答）

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15. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $Γ ： \frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左、右焦点，点P为 $Γ$ 上异于顶点的点，直线l分别与以 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 为直径的圆相切于A，B两点，若向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{F_{1} F_{2}}$ 的夹角为 $θ$ ，则 $\cos θ$ =.

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三、双空题

16. 已知数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ， $2 b_{n} = T_{n} + 2$ ， $a_{n} = {\begin{array}{l} 4 - n, n 为奇数 \\ b_{n}, n 为偶数 \end{array}$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若使得 $\frac{S_{2 m}}{S_{2 m - 1}}$ 恰好为数列 ${a_{n}}$ 中的某个奇数项，则数列 ${b_{n}}$ 的通项公式 $b_{n} =$ ，所有正整数m组成的集合为.

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四、解答题

17. 已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边，若 $△ A B C$ 同时满足以下四个条件中的三个：① $\frac{b - a}{c} = \frac{2 \sqrt{6} a + 3 c}{3 (a + b)}$ ，② $\frac{\cos C}{\cos A} + \frac{c}{a} = \frac{2 b}{a}$ ，③ $a = \sqrt{6}$ ，④ $b = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、条件①②能否同时满足，请说明理由；

(2)、以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应 $△ A B C$ 的面积.

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18. 如图在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 底面ABCD，底面ABCD是等腰梯形， $∠ B A D = 60 °$ ， $A D / / B C$ ， $A D = 4 B C = 4$ ， $P A = \sqrt{2}$ $P B = \sqrt{6}$ .

(1)、证明： $P C ⊥ C D$ .

(2)、求平面PCD与平面PAB夹角（锐角）的余弦值.

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ，点P，M，N为椭圆C上的点，直线MN过坐标原点，直线PM，PN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若 $P F / / M N$ 且直线PF与椭圆的另一个交点为Q，问 $\frac{| M N |^{2}}{| P Q |}$ 是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由.

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20. 十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：

附参考数据： $\sqrt{6.92} \approx 2.63$ ，若随机变量X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9973$ .

(1)、根据频率分布直方图，估计50位农民的平均年收入 $\bar{x}$ （单位：千元）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；

(2)、由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为年平均收入 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ，经计算得 $s^{2}$ =6.92，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 $84.14 %$ 的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入标准大约为多少千元？

②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？

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21. 已知函数 $f (x) = a + 2 \ln (x + 1)$ ，且 $f (x) \leq a (x + 1)$ .

(1)、求实数a的值；

(2)、令 $g (x) = \frac{(x + 1) f (x)}{x + 1 - a}$ 在 $x \in (a - 1 ， + \infty)$ 上的最小值为m，求证： $8 < m < 9$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \sqrt{3} + \frac{1}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{3}{1 + 2 \sin^{2} θ}$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程与曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设A、B为曲线 $C_{2}$ 上位于第一，二象限的两个动点，且 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ，射线 $O A$ ， $O B$ 交曲线 $C_{1}$ 分别于点D，C.求 $△ A O B$ 面积的最小值，并求此时四边形 $A B C D$ 的面积.

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23. 已知a，b，c均为正实数，函数 $f (x) = \frac{1}{a^{2}} + | x - \frac{1}{b^{2}} | + | x + \frac{1}{4 c^{2}} |$ 的最小值为1.证明：

(1)、 $a^{2} + b^{2} + 4 c^{2} \geq 9$ ；

(2)、 $\frac{1}{a b} + \frac{1}{2 b c} + \frac{1}{2 a c} \leq 1$ .

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