河南省焦作市2020届高三理数第三次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-07-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}$ ，集合 $A = {x \in Z | | x - 1 | \leq 2}, B = {2, 3, 4, 5}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${4, 5}$ B、 ${2, 3, 5}$ C、 ${1, 3}$ D、 ${3, 4}$

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2. 复数 $z = \frac{i^{2} - 1}{2 - i}$ 的共轭复数为（）

A、 $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} - \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{3}{5} i$ D、 $- \frac{4}{5} + \frac{2}{5} i$

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3. 设 $a = l o g_{0.7} 6, b = π^{0.5}, c = {0.3}^{0.2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (- 3, 1), \vec{b} = (x, - 4)$ .若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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5. 要想得到函数 $y = \sqrt{3} \sin x + cosx$ 的图象，可将函数 $y = \sin x - \sqrt{3} \cos x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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6. 向一块长度为4，宽度为3的矩形区域内，随机投一粒豆子(豆子大小忽略不计)，豆子的落地点到矩形各边的距离均不小于1的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7. 已知 $m, l$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列可以推出 $α ⊥ β$ 的是（）

A、 $m ⊥ l, m \subset β, l ⊥ α$ B、 $m ⊥ l, α \cap β = l, m \subset α$ C、 $m / / l, m ⊥ α, l ⊥ β$ D、 $l ⊥ α, m / / l, m / / β$

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8. 执行如图所示的程序框图，若输出的S为154，则输入的 $n$ 为（）

A、18 B、19 C、20 D、21

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9. 设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是定义在 $[a, b]$ 上的函数，且图象都是一条连续不断的曲线.定义: $d (f, g) = {| f (x) - g (x) |}_{\max}$ 则" $\exists x_{0} \in [a, b] f (x_{0}) \neq g (x_{0})$ "是" $d (f, g) > 0$ "的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 已知 $α \in (π, \frac{3}{2} π), 2 \sin 2 α = 1 - \cos 2 α$ ，则 $\tan \frac{α}{2} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5} + 3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 3}{2}$ C、 $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其右支上存在一点 $M$ ，使得 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ，直线 $l ： b x + a y = 0$ .若直线 $M F_{2} // l$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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12. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，抛物线 $C$ 与圆 $C^{'} ： x^{2} + {(y - \frac{5}{4})}^{2} = \frac{25}{16}$ 于 $A ， B$ 两点，且 $| A B | = \sqrt{5}$ 若过抛物线 $C$ 的焦点的弦 $M N$ 的长为8，则弦MN的中点到直线 $x = - 2$ 的距离为（）

A、2 B、5 C、7 D、9

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二、填空题

13. 在某歌唱比赛中，一名参赛歌手的得分为169，162，150，160，159，则这名歌手得分的方差为.

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14. $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c,$ 已知 $A = 60 °, a = 2, \vec{A C} \cdot \vec{A B} = \frac{4}{3}$ 则 $△ A B C$ 的周长为.

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15. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 2) = - f (x)$ ，且当 $x \in (- 1, 0)$ )时 $f (x) = 2^{x} + \frac{1}{5}$ ，则 $f (l o g_{2} 20) =$ .

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16. 下图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后，左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直.则这个几何体的体积为.

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三、解答题

17. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S$ ，已知 $S_{n} = 2 a_{n} - 2 n + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot \log_{2} [\frac{2}{3} (a_{n} + 4) - \frac{4}{3}],$ 数列 $| b_{n} |$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$

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18. 截至2019年，由新华社《瞭望东方周刊》与瞭望智库共同主办的"中国最具幸福感城市"调查推选活动已连续成功举办12年，累计推选出60余座幸福城市，全国约9亿多人次参与调查，使"城市幸福感"概念深入人心.为了便于对某城市的"城市幸福感"指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下不完整的2×2列联表(数据单位：人).

	男	女	总计
非常幸福		11	15
比较幸福		9
总计			30

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P （ K^{2} \geq k_{0})$ ）	0.10	0. 05	0. 010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6. 635	10. 828

(1)、将列联表补充完整，并据此判断是否有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关；

(2)、若感觉"非常幸福"记2分，"比较幸福"记1分，从上表男性中随机抽取3人，记3人得分之和为

ξ

，求

ξ

的分布列，并根据分布列求

ξ \leq 4

的概率

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19. 在如图所示的几何体中，底面 $A B C D$ 是矩形，平面 $M A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $M A B \cap$ 平面 $M C D = M N$ ， $Δ M A D$ 是边长为4的等边三角形， $C D = 2 M N = 2$ .

(1)、求证： $M N ⊥ M D$ ；

(2)、求二面角 $M - B D - N$ 的余弦值

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的中心为原点O，左焦点为F，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于 $M, N$ 两点.

(1)、若 $K (2, 1)$ 为线段 $M N$ 的中点，求直线l的方程.

(2)、求点 $P$ 是直线 $x = - \frac{\sqrt{5} a^{2}}{5}$ 上一点，点Q在椭圆C上，且满足 $\vec{P F} \cdot \vec{Q F} = 0$ ，设直线 $P Q$ 与直线 $O Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，问： $k_{1} k_{2}$ 是否为定值？若是，请求出 $k_{1} k_{2}$ 的值；若不是，请说明理由.

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21. 已知 $f (x) = 2 e^{2 x - 1} + 4 a x (a \in R)$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{e}$ ，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上的最大值为 $3 e^{3}$ ，求a的值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方 ${\begin{matrix} x = - 2 + t \cos α \\ y = 2 + t \sin α \end{matrix}$ （其中t为参数， $α \in [0, π)$ )，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 s i n θ .$

(1)、若点 $P (x, y)$ 在直线 $l$ 上，且 $\frac{x + y}{x - y + 4} = 2$ 求 $s i n α$ 的值；

(2)、若 $α = \frac{π}{4}$ 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.

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23. 已知 $f (x) = | x - 1 | - | a x - 2 a | (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若不等式 $f (x) \geq x - 4$ 在 $x \in [2, 9)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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