河南省2020届高三理数适应性测试试卷

试卷更新日期：2020-07-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq 0}$ ， $B = {x | y = \lg (x^{2} - x)}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 ${0} \cup [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0] \cup (1 ， + \infty)$

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2. 已知复数 $z = \frac{1}{{(i - 1)}^{2}}$ （i为复数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{i}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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3. 2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（）

A、月工资增长率最高的为8月份 B、该销售人员一年有6个月的工资超过4000元 C、由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元 D、该销售人员这一年中的最低月工资为1900元

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4. 已知 $p$ ： ${(x + 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{2} + a_{4}$ 的值为（）

A、7 B、8 C、15 D、16

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5. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点为F，过 $F$ 作x轴的垂线分别交双曲线的两渐近线于A，B两点，若 $△ A O B$ 的面积为 $2 b^{2}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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6. 九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用 $a_{n}$ 表示解下 $n (n \leq 9, n \in N^{*})$ 个圆环所需的最少移动次数，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} = {\begin{array}{l} 2 a_{n - 1} - 1, n 为偶数, \\ 2 a_{n - 1} + 2, n 为奇数, \end{array}$ 则解下5个环所需的最少移动次数为（）

A、7 B、10 C、16 D、22

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7. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（）

A、6 B、 $8 + 4 \sqrt{6}$ C、 $4 + 2 \sqrt{6}$ D、 $4 + \sqrt{6}$

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8. 已知函数 $y = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{2} ， 1]$ C、 $(\frac{1}{3} ， \frac{2}{3}]$ D、 $[\frac{2}{3} ， 2]$

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9. 已知平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D = 2$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，点M是线段 $B C$ 上一点，则 $\vec{O M} \cdot \vec{C M}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{9}{16}$ B、 $\frac{9}{16}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 已知正方形 $A B C D$ ，其内切圆 $I$ 与各边分别切于点E，F，G、H，连接 $E F$ ， $F G$ ， $G H$ ， $H E$ ．现向正方形 $A B C D$ 内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形 $E F G H$ 外，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{2}{π}$ B、 $1 - \frac{2}{π}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{π}{4} - \frac{1}{2}$

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11. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ ，对任意实数x，恒有 $f (x + 3) = - f (x)$ ，且当 $x \in (0, \frac{3}{2}]$ 时， $f (x) = x^{2} - 6 x + 8$ ，则 $f (0) + f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (2020) =$ （）

A、6 B、3 C、0 D、-3

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12. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = P B = P C = P D = 2$ ，底面 $A B C D$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形，点 $E$ 是 $P C$ 的中点，过点 $A$ ， $E$ 作棱锥的截面，分别与侧棱 $P B$ ， $P D$ 交于M，N两点，则四棱锥 $P - A M E N$ 体积的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = (x - 2) \ln x$ ．则函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 为公差不为零的等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 成等比数列， $S_{5} = 15$ ，则 $a_{4} =$ ．

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15. 现有灰色与白色的卡片各八张，分别写有数字1到8．甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面前的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是．（填写字母）

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16. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的两个焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l_{1}$ 与椭圆C交于A，B两点，过 $F_{2}$ 与 $l_{1}$ 平行的直线 $l_{2}$ 与椭圆C交于C，D两点（点A，D在x轴上方），则四边形 $A B C D$ 面积的最大值为.

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三、解答题

17. 如图，在三棱柱 $A B C — A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ B C C_{1}$ 为正三角形， $A C ⊥ B C$ ， $A C = A A_{1} = 2$ ， $A_{1} C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $P$ 在线段 $B B_{1}$ 上，且 $A_{1} P ⊥ A A_{1}$ .

(1)、证明： $A A_{1} ⊥ C_{1} P$ ；

(2)、求 $B C_{1}$ 和平面 $A_{1} C P$ 所成角的正弦值.

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18. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B$ ∥ $C D$ ， $C D = 3 A B = 3$ ．

(1)、若 $C A = C D$ ，且 $\tan ∠ A B C = - \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积S；

(2)、若 $\cos ∠ D A C = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ， $\cos ∠ A C D = \frac{3}{4}$ ，求 $B D$ 的长．

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19. 已知O为坐标原点，点 $F (0 ， 1)$ ，M为坐标平面内的动点，且2， $| F M |$ ， $2 \vec{O M} \cdot \vec{O F}$ 成等差数列．

(1)、求动点M的轨迹方程；

(2)、设点M的轨迹为曲线T，过点 $N (0 ， 2)$ 作直线 $l$ 交曲线 $l^{'}$ 于C，D两点，试问在 $y$ 轴上是否存在定点Q，使得 $\vec{Q C} \cdot \vec{Q D}$ 为定值？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由．

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20. 已知函数 $f (x) = a x e^{x} + (x + 1) \sin x + \cos x$ ．

(1)、当 $a = 1$ ， $x \geq - \frac{π}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{f (x) - \sin x - \cos x}{x}$ ， $x \in [- \frac{π}{4} ， 0) \cup (0 ， \frac{7 π}{4}]$ ，若函数 $g (x)$ 的导函数 $g^{'} (x)$ 存在零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有 $n (n \in N^{*})$ 份血液样本每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验 $n$ 次；（2）混合检验，将其中 $k (k \in N^{*} ， 2 \leq k \leq n)$ 份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这 $k$ 份的血液全为阴性，因而这 $k$ 份血液样本只需检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这 $k$ 份血液究竟哪份为阳性，就需要对这 $k$ 份再逐份检验，此时这 $k$ 份血液的检验次数总共为 $k + 1$ 次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果总阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取遂份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．

(2)、现取其中的 $k (k \in N^{*} ， 2 \leq k \leq n)$ 份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为 $ξ_{1}$ ；采用混合检验的方式，样本简要检验的总次数为 $ξ_{2}$ ；
（ⅰ）若 $E ξ_{1} = E ξ_{2}$ ，试运用概率与统计的知识，求 $p$ 关于 $k$ 的函数关系 $p = f (k)$ ，

（ⅱ）若 $p = 1 - \frac{1}{\sqrt[4]{e}}$ ，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求 $k$ 的最大值（ $\ln 4 = 1 ． 386$ ， $\ln 5 = 1 ． 609$ ， $\ln 6 = 1 ． 792$ ， $\ln 7 = 1 ． 946$ ， $\ln 8 = 2.079$ ， $\ln 9 = 2.197$ ）

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22. 已知在平面直角坐标系内，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos θ + 2 \sin θ \\ y = \cos θ - \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ \cos (θ - \frac{π}{4}) = 8 \sqrt{2}$ ．

(1)、把曲线C和直线l化为直角坐标方程；

(2)、过原点O引一条射线分别交曲线C和直线l于A，B两点，射线上另有一点M满足 ${| O A |}^{2} = | O M | \cdot | O B |$ ，求点M的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）．

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x + 2 | - 3 | x - 1 |$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值M；

(2)、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 4 b = M$ ，求 $\frac{a}{a + 2} + \frac{2 b}{2 b + 1}$ 的最大值．

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