辽宁省大连市2020届高三文数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-07-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x + 3 < 0}$ ， $B = {x | 2 < x < 4}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(1, 3)$ B、 $(1, 4)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(2, 4)$

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2. 已知 $a ， b \in R$ ， $i$ 是虚数单位，若 $a - i$ 与 $2 + b i$ 互为共轭复数，则 ${(a + b i)}^{2} =$ （）

A、 $3 + 4 i$ B、 $5 + 4 i$ C、 $3 - 4 i$ D、 $5 - 4 i$

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ D、 $y = \pm 4 x$

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4. 欧拉公式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （ $i$ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， $m = \frac{f (x)}{x} = g (x)$ 表示的复数在复平面中位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 + \log_{2} (2 - x), x < 1 \\ e^{x}, x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (- 2) + f (\ln 6) =$ （）

A、3 B、6 C、9 D、12

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6. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} \cdot a_{5} = 16$ ， $a_{3} + a_{4} = 12$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、16 B、32 C、64 D、256

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7. 已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（）

A、 $y = \sin (e^{x} + e^{- x})$ B、 $y = \sin (e^{x} - e^{- x})$ C、 $y = \cos (e^{x} - e^{- x})$ D、 $y = \cos (e^{x} + e^{- x})$

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8. 已知关于某设各的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，

x

2

3

4

5

6

y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

由上表可得线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + 0.08$ ，若规定当维修费用y＞12时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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9. 已知点 $P$ 在抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 上，过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C于A、B两点，若直线 $A B$ 的斜率为-1，则点P坐标为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(2, 2 \sqrt{2})$ D、 $(2, - 2 \sqrt{2})$

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10. 下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出 $A B / /$ 平面 $M N P$ 的图形的序号是（）

A、①③ B、②③ C、①④ D、②④

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11. 已知三棱锥 $P - A B C$ ，面 $P A B ⊥$ 面 $A B C$ ， $P A = P B = 4$ ， $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积（）

A、 $20 π$ B、 $32 π$ C、 $64 π$ D、 $80 π$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，其图象与直线 $y = 1$ 相邻两个交点的距离为 $π$ ，若对 $\forall x \in (\frac{π}{24} ， \frac{π}{3})$ ，不等式 $f (x) > \frac{1}{2}$ 恒成立，则 $φ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{6}]$ B、 $(\frac{π}{12} ， \frac{π}{3})$ C、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ D、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$

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二、填空题

13. 设向量 $\vec{a} = (2, 4)$ 与向量 $\vec{b} = (x, 6)$ 共线，则实数x等于．

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14. 抽取样本容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：

分组	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$
频数	2	3	4	5	4	2

则样本数据落在区间 $[10, 30)$ 的频率为.

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15. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} + {(- 1)}^{n} a_{n} = n$ ，则 ${a_{n}}$ 的前8项和为.

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三、双空题

16. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{e x}{2 - x}$ ，则 $f (x) + f (2 - x)$ 值为；若 $\sum_{k = 1}^{19} f (\frac{k}{10})$ 的值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $(2 a - c) (a^{2} - b^{2} + c^{2}) = 2 a b c \cos C$ .
（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若 $a = 1$ ， $b = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 如图，已知平面四边形 $A B C P$ 中，D为 $P A$ 的中点， $P A ⊥ A B$ ， $C D / / A B$ ，且 $P A = C D = 2 A B = 4$ .将此平面四边形 $A B C P$ 沿 $C D$ 折起，且平面 $P D C ⊥$ 平面 $D C B$ ，连接 $P A$ 、 $P B$ 、 $B D$ .

（Ⅰ）证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P B C$ ；

（Ⅱ）求点 $D$ 与平面 $P B C$ 的距离.

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19. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 $60$ 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 $[90 ， 100) ， [100 ， 110) ， \dots ， [140 ， 150)$ 后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

(1)、求分数在 $[120 ， 130)$ 内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)、统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；

(3)、用分层抽样的方法在分数段为 $[110 ， 130)$ 的学生中抽取一个容量为 $6$ 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 $2$ 个，求至多有 $1$ 人在分数段 $[120 ， 130)$ 内的概率．

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20. 已知函数 $f (x) = x \ln x - (a - 1) x + a + 1$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）若 $x > 1$ ，不等式 $f (x) > 1$ 恒成立，求整数a的最大值.

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21. 已知离心率为 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆 $Q$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上下顶点分别为 $A (0, 1)$ ， $B (0, - 1)$ ，直线 $l$ ： $x = t y + m (m \neq 0)$ 与椭圆Q相交于C，D两点，与y相交于点M .
（Ⅰ）求椭圆Q的标准方程；

（Ⅱ）设直线 $A C$ ， $B D$ 相交于点N，求 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的值.

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22. 以平面直角坐标系 $x o y$ 的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = 3 \sqrt{2}$ ，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos θ \\ y = \sqrt{3} \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）.
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

（Ⅱ）求曲线C上的动点到直线l距离的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | + | x + 2 b |$ ， $a, b \in R$ .
（Ⅰ）若 $a = 1$ ， $b = - \frac{1}{2}$ ，求 $f (x) \leq 2$ 的解集；

（Ⅱ）若 $a b > 0$ ，且 $f (x)$ 的最小值为2，求 $| \frac{2}{a} + \frac{1}{b} |$ 的最小值.

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x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0