福建省厦门市2020届高三毕业班理数6月质量检查试卷

试卷更新日期：2020-07-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $z = \frac{- 2 + i}{i}$ 对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {- 1, 1}$ ， $B = {x | x^{2} + 2 x + m = 0}$ ，若 $A \cap B = {1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${- 1, 1}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${- 1, 1, 3}$ D、 ${- 3, - 1, 1}$

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3. 设实数x、y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y - 1 \leq 0 \\ x + y - 1 \leq 0 \\ x \geq - 1 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值是（）

A、2 B、0 C、-4 D、-2

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4. 已知 $F_{1}$ 是椭圆 $Γ :$ $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点，过 $F_{1}$ 且与 $x$ 轴垂直的直线与 $Γ$ 交于A，B两点，点C与A关于原点O对称，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、2 B、3 C、6 D、12

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5. 如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{7}{8}$

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6. 若平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ， $m$ 是 $β$ 内的任意一条直线，则下列结论正确的是（）

A、任意直线 $l \subset α$ ，都有 $l ⊥ β$ B、存在直线 $l \subset α$ ，使得 $l // β$ C、任意直线 $l \subset α$ ，都有 $l ⊥ m$ D、存在直线 $l \subset α$ ，使得 $l // m$

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7. 已知 $A B_{1} ⊄$ ， $b = 2^{0.3}$ ， $c = \cos 1$ .则a，b，c的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{3} + (a^{2} - 4) x + 4 - a ， & x > 0 \\ a^{x} ， & x \leq 0 \end{matrix}$ ，是单调递增函数，则实数a的取值范围是（）

A、(1，2) B、 $(1 ， 3]$ C、 $[2 ， 3]$ D、 $[3 ， + \infty)$

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9. 记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = n^{2}$ 设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前10项和为（）

A、 $\frac{10}{21}$ B、 $\frac{11}{21}$ C、 $\frac{19}{21}$ D、 $\frac{20}{21}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ .且 $x_{1} x_{2} \leq 0$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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11. 闰月年指农历里有闰月的年份，比如2020年是闰月年，4月23日至5月22日为农历四月，5月23日至6月20日为农历闰四月.农历置闰月是为了农历年的平均长度接近回归年：农历年中的朔望月的平均长度为29.5306日，

29.5306 \times 12 = 354.3672

日，回归年的总长度为365.2422日，两者相差10.875日.因此，每19年相差206.625日，约等于7个朔望月.这样每19年就有7个闰月年.以下是1640年至1694年间所有的闰月年：

1640	1642	1645	1648	1651	1653	1656
1659	1661	1664	1667	1670	1672	1675
1678	1680	1 683	1686	1689	1691	1694

则从2020年至2049年，这30年间闰月年的个数为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是线段 $B C_{1}$ 上的动点，以下结论：
① $A_{1} P //$ 平面 $A C D_{1}$ ；② $A_{1} P ⊥ B_{1} D$ ；③三棱锥 $P - A C D_{1}$ ，体积不变；④ $P$ 为 $B C_{1}$ 中点时，直线 $P C$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角最大.

其中正确的序号为（）

A、①④ B、②④ C、①②③ D、①②③④

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, k)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (2 \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $k =$ .

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14. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} = 1$ ，且 $3 S_{1}$ ， $2 S_{2}$ ， $S_{3}$ 成等差数列，则 $a_{4} =$ .

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15. 某学校贯彻“科学防疫”，实行“佩戴口罩，间隔而坐” .一排8个座位，安排4名同学就坐，共有种不同的安排方法.(用数字作答)

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16. 双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与 $Γ$ 的左､右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上， $\vec{F_{2} A} = \frac{1}{3} \vec{M B}$ ， $B F_{2}$ 平分 $∠ F_{1} B M$ ，则 $Γ$ 的离心率为.

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三、解答题

17. $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 4 c \cos B$ ， $b^{2} - c^{2} = 2 a$ .

(1)、求a；

(2)、若 $c = a$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $A D = 2 \sqrt{5}$ ，求 $∠ A D B$ 的大小.

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ， $△ A B C$ 为正三角形，D为线段 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A D C_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小为60°， $A A_{1} = A C$ ，求二面角 $A - D C_{1} - B_{1}$ 的余弦值.

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19. 近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲，乙两同学一起收集6家农户的数据，进行回归分折，得到两个回归摸型：模型①：

{\hat{y}}^{(1)} = - 1. 65 x + 28. 57

，模型②：

{\hat{y}}^{(2)} = \frac{26.67}{x} + 13. 50

，对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表：

种植面积 $x$ (亩)		2	3	4	5	7	9
每亩种植管理成本 $y$ (百元)		25	24	21	22	16	14
模型①	估计值 ${\hat{y}}^{(1)}$	25.27	23.62	21.97		17.02	13.72
模型①	残差 ${\hat{e_{i}}}^{(1)}$	-0.27	0.38	-0.97		-1.02	0.28
模型②	${\hat{y}}^{(2)}$	26.84		20.17	18.83	17.31	16.46
模型②	${\hat{e_{i}}}^{(2)}$	-1.84		0.83	3.17	-1.31	-2.46

(1)、将以上表格补充完整，并根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好；

(2)、视残差

\hat{e_{i}}

的绝对值超过1.5的数据视为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重新求回归方程.

附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ； $0 {.27}^{2} + {0.38}^{2} + {0.97}^{2} + {1.02}^{2} + {0.28}^{2} = 2.277$

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20. 已知动圆C过点 $F (1 ， 0)$ 且与直线 $l ： x = - 1$ 相切.

(1)、求圆心C的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、过F的直线与E交于A，B两点，分别过A，B做 $l$ 的垂线，垂足为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点为M.
①求证： $A B ⊥ F M$ ；

②记四边形 $A A_{1} M F$ ， $B B_{1} M F$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $S_{1} = 2 S_{2}$ ，求 $| A B |$ .

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - m x^{2} (m \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < 2 < x_{2}$ ，求证： $\ln (x_{2}^{2} - x_{1}^{2} + 1) - \frac{\ln 2}{4} {(x_{2}^{2} - x_{1}^{2} + 1)}^{2} < \ln 3 - \frac{e}{2}$ .(其中 $e = 2. 71828 \dots$ 是自然对数的底数)

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $l$ 的方程为 $x = 4$ ，C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos θ \\ y = 2 + 2 \sin θ \end{array}$ ，（ $θ$ 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)、求l和C的极坐标方程；

(2)、直线 $θ = α (ρ \in R, α \in [0, π))$ 与 $l$ 交于点A，与 $C$ 交于点B（异于O），求 $\frac{| O B |}{| O A |}$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | m x - 2 | + m | x - 1 |$ 是奇函数.

(1)、求m，并解不等式 $f (x) \geq - 3$ ；

(2)、记 $f (x)$ 得最大值为M，若 $a$ 、 $b \in R$ ，且 $a^{2} + 4 b^{2} \leq M$ ，证明 $a + b \leq \sqrt{5}$ .

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