福建省厦门市2020届高三毕业班理数5月质量检查试卷

试卷更新日期：2020-06-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2 i$ ，则复平面内与z对应的点在（）．

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {x | 1 < x < 2}$ ，集合 $B = {x | y = \sqrt{m - x^{2}}}$ ，若 $A \cap B = A$ ，则m的取值范围是（）．

A、 $(0, 1]$ B、 $(1, 4]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[4, + \infty)$

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3. 已知双曲线C经过点 $(\sqrt{2}, 3)$ ，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，则C的标准方程为（）．

A、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$

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4. “ $\cos 2 θ = 0$ ”是“ $\sin θ = \cos θ$ ”的（）．

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为 $v$ （单位： $m / s$ ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q．科学研究发现 $v$ 与 $\log_{3} \frac{Q}{100}$ 成正比．当 $v = 1 m / s$ 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为890．则当 $v = 2 m / s$ 时，其耗氧量的单位数为（）．

A、2670 B、7120 C、7921 D、8010

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6. 某三棱锥的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）．

A、 $9 π$ B、 $27 π$ C、 $81 π$ D、 $108 π$

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7. 在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛（获奖名次不重复）．甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有（）．

A、18种 B、24种 C、36种 D、48种

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8. 若 $a = \log_{2} 3$ ， $b = \lg 5$ ， $c = \log_{18} 9$ ，则（）．

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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9. 已知 $S_{n}$ 是正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $S_{10} = 20$ ，则 $S_{30} - 2 S_{20} + S_{10}$ 的最小值为（）．

A、10 B、5 C、-5 D、-10

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10. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，A为C上一点且在第一象限，以 $F$ 为圆心， $F A$ 为半径的圆交 $C$ 的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则直线 $A F$ 的斜率为（）．

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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11. 一副三角板由一块有一个内角为 $60 °$ 的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， $∠ B = ∠ F = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $∠ D = 45 °$ ， $B C = D E$ ．现将两块三角板拼接在一起，取 $B C$ 中点 $O$ 与 $A C$ 中点 $M$ ，则下列直线与平面 $O F M$ 所成的角不为定值的是（）

A、 $A C$ B、 $A F$ C、 $B F$ D、 $C F$

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12. 函数 $f (x) = a (x + 2) e^{x} - x - 1 (a < 1)$ ，若存在唯一整数 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) < 0$ ，则a的取值范围是（）．

A、 $(\frac{2}{3 e} ， 1)$ B、 $[\frac{2}{3 e} ， \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{2}{3 e} ， 1)$ D、 $[- \frac{2}{3 e} ， \frac{1}{2})$

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二、填空题

13. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a^{2} = 2 b c$ 且 $\sin A = 2 \sin C$ ，则 $\cos C =$ ．

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14. 排球比赛实行“五局三胜制”．某次比赛中，中国女排和M国女排相遇，统计以往数据可知，每局比赛中国女排获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，M国女排获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为．

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15. 已知 $\overset{⇀}{m}$ ， $\overset{⇀}{n}$ 是两个非零向量，且 $| \overset{⇀}{m} | = 2$ ， $| \overset{⇀}{m} + 2 \overset{⇀}{n} | = 4$ ，则 $| \overset{⇀}{m} + \overset{⇀}{n} | + | \overset{⇀}{n} |$ 的最大值为.

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三、双空题

16. 用 $M_{I}$ 表示函数 $y = \sin x$ 在闭区间 $I$ 上的最大值，若正数 $a$ 满足 $M_{[0 ， a]} \geq 2 M_{[a ， 2 a]}$ ，则 $M_{[0 ， a]} =$ ； $a$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前N项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + k n + k (k \in R)$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{S_{n + 1} - 1}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前N项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{3}{4}$ ．

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18. 直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 被平面 $A_{1} E C D$ 所截得到如图所示的五面体， $C D ⊥ C E$ ， $C D ⊥ A D$ ．

(1)、求证： $B C$ ∥平面 $A_{1} A D$ ；

(2)、若 $B C = C D = B E = \frac{1}{3} A D = 1$ ，求二面角 $B - A_{1} E - C$ 的余弦值．

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19. 一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，若摸出的“两个都是红球”出现3次获得200分，若摸出“两个都是红球”出现1次或2次获得20分，若摸出“两个都是红球”出现0次则扣除10分（即获得 $- 10$ 分）．

(1)、设每轮游戏中出现“摸出两个都是红球”的次数为X，求X的分布列；

(2)、玩过这款游戏的许多人发现，若干轮游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了，请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象．

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，过左焦点F且斜率大于0的直线l交E于 $A 、 B$ 两点， $A B$ 的中点为 $G ， A B$ 的垂直平分线交x轴于点D.

(1)、若点G纵坐标为 $\frac{2}{3}$ ，求直线 $G D$ 的方程；

(2)、若 $\tan ∠ B A D = \frac{1}{2}$ ，求 $Δ A B D$ 的面积.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{1}{2} x^{2} - 2 a x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （其中 $x_{2} > x_{1}$ ），且 $f (x_{2}) - f (x_{1})$ 的取值范围为 $(2 \ln 2 - \frac{15}{8} ， \ln 2 - \frac{3}{4})$ ，求a的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} + t \cos α \\ y = 1 + t \sin α \end{array}$ （ $t$ 为参数， $α \in [0, π)$ ），曲线C的参数方程 ${\begin{array}{l} x = 2 \sqrt{3} \cos β \\ y = 2 \sin β \end{array}$ （ $β$ 为参数）．

(1)、求曲线C在直角坐标系中的普通方程；

(2)、以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线 $l$ 所得线段的中点极坐标为 $(2, \frac{π}{6})$ 时，求 $α$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | (x - 2) + | x - 2 | (x - a)$ .
（Ⅰ）当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

（Ⅱ）若 $x \in (0, 2)$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求a的取值范围.

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