福建省三明市2019-2020学年高三理数（5月份)高考模拟试卷

试卷更新日期：2020-06-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集为 $A = {x | 1 \leq \log_{2} x \leq 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x - 4 < 0}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(- 1, 8]$ C、 $[4, 8]$ D、 $[2, 4)$

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2. 设 $z_{1}, z_{2}$ 是复数，则下列命题中的假命题是（）

A、若 $| z_{1} - z_{2} | = 0$ ，则 $\bar{z_{1}} = \bar{z_{2}}$ B、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ C、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = z_{2} \cdot \bar{z_{2}}$ D、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$

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3. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（）

A、甲的极差是29 B、甲的中位数是24 C、甲罚球命中率比乙高 D、乙的众数是21

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4. 定义在R上的函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{| x - m |} - 2$ 为偶函数， $a = f (\log_{2} \frac{1}{2})$ ， $b = f ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}})$ ， $c = f (m)$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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5. 设函数 $f (x) = - \cos x - x^{4}$ 的导函数为 $g (x)$ ，则 $| g (x) |$ 图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S₁₇＝51，则2a₁₀﹣a₁₁＝（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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7. 执行如图所示的程序框图，若输出的n＝6，则输入的整数p的最大值为（）

A、7 B、15 C、31 D、63

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8. 关于函数 $f (x) = \cos | x | + | \cos x |$ 有下述四个结论：
① $f (x)$ 是偶函数；② $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2}, 0)$ 上单调递增；③ $f (x)$ 在 $[- π, π]$ 上有4个零点；④ $f (x)$ 的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是（）

A、①②④ B、②④ C、①④ D、①③

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9. 《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{10}$

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10. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $\overset{⇀}{A N} = \frac{2}{3} \overset{⇀}{N C}$ ， $P$ 是 $B N$ 上一点，若 $\overset{⇀}{A P} = t \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11. 直线 $x - \sqrt{3} y + \sqrt{3} = 0$ 经过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点F，交椭圆于A、B两点，交y轴于C点，若 $\vec{F A} = 3 \vec{C A}$ ，则该椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $2 \sqrt{2} - 2$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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12. 已知正三棱锥 $S - A B C$ ，底面是边长为3的正三角形ABC， $S A = 2 \sqrt{3}$ ，点E是线段AB的中点，过点E作三棱锥 $S - A B C$ 外接球O的截面，则截面面积的最小值是（）

A、3π B、 $\frac{9 π}{4}$ C、2π D、 $\frac{7 π}{4}$

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二、填空题

13. 已知直线 $y = k x - 2 x$ 与曲线 $y = x \ln x$ 在 $x = e$ 处的切线平行，则实数k的值为.

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14. 若 $(3 x^{2} - a) {(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为-80，则 $a =$ .

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15. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x - y - 1 \geq 0 \\ 2 x + y - 7 \leq 0 \\ 2 x + 3 y - 5 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x + 3 y$ 的最大值为.

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16. 对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在实数 $x_{0}$ 满足 $f (- x_{0}) = - f (x_{0})$ ，则称函数 $f (x)$ 为“倒戈函数”．设 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} (x^{2} - 2 m x + 1), x \geq 2 \\ - 3, x < 2 \end{array}$ （ $m \in R$ 且 $m \neq 0$ ）为其定义域上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的周长为 $\sqrt{2} + 1$ ，且 $\sin A + \sin B = \sqrt{2} \sin C$ ．

(1)、求边 $A B$ 的长；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{6} \sin C$ ，求角C的度数．

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18. 某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图.若立定跳远成绩落在区间 $(\bar{x} - s ， \bar{x} + s)$ 的左侧，则认为该学生属“体能不达标的学生，其中 $\bar{x} ， s$ 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 $s \approx 27$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

(1)、若该校高三某男生的跳远距离为 $187 c m$ ，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？

(2)、该校利用分层抽样的方法从样本区间 $[160 ， 180) ， [180 ， 200) ， [200 ， 220)$ 中共抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，求选出的两人中恰有一人跳远距离在 $[200 ， 220)$ 的概率.

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19. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2， $P B = \frac{\sqrt{13}}{2}$ ， $P A = P C = \sqrt{3}$

（Ⅰ）证明；AC⊥BP；

（Ⅱ）求直线AD与平面APC所成角的正弦值．

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20. 已知椭圆N： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $C (0, 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆N的标准方程与焦距；

(2)、直线l： $y = k x - \frac{1}{3}$ 与椭圆 $N$ 的交点为A，B两点，线段 $A B$ 的中点为M.是否存在常数 $λ$ ，使 $∠ A M C = λ \cdot ∠ A B C$ 恒成立，并说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 a x - a ， g (x) = l n x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、用 $m a x {m ， n}$ 表示 $m ， n$ 中的最大值，若函数 $h (x) = m a x {f (x) ， g (x)} (x > 0)$ 只有一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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22. 以平面直角坐标系 $x O y$ 的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ \sin (α + \frac{π}{6}) = 2$ ，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos θ \\ y = \sqrt{3} \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）.

(1)、求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

(2)、以曲线C上的动点M为圆心、r为半径的圆恰与直线l相切，求r的最大值.

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23. 已知 $a > 0, b > 0$ .

(1)、求证： $\sqrt{a b} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ ；

(2)、若 $a > b$ ，且 $a b = 2$ ，求证： $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b} \geq 4$ ．

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