江苏省扬州市2020届高三下学期6月最后一卷数学试题

试卷更新日期：2020-06-30 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, a^{2}}$ ， $B = {- 1, 1}$ ，则 $A \cap B = B$ ，则实数a的值是．

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2. 已知复数z满足 $\frac{3 + 4 i}{z} = i$ (i为虚数单位)，则 $| z | =$ ．

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3. 某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取名志愿者．

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4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．

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5. 已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的准线也是双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的一条准线，则该双曲线的两条渐近线方程是．

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6. 某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的概率为．

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列， $T_{n}$ 是其前 $n$ 项之积，若 $a_{5} \cdot a_{6} = a_{7}$ ，则 $T_{7}$ 的值是．

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8. 已知 $f (x) = \cos x + e^{| x |}$ ，则 $f (3 - x) - f (3 x + 1) > 0$ 的解集为．

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9. 如图，已知正 $△ A B C$ 是一个半球的大圆O的内接三角形，点P在球面上，且 $O P ⊥$ 面 $A B C$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 与半球的体积比为．

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10. 已知 $\sin (\frac{α}{2} - \frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\sin α + \cos α =$ .

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11. 设 $[t]$ 表示不超过实数 $t$ 的最大整数(如 $[- 1.3] = - 2$ ， $[2.6] = 2$ )，则函数 $f (x) = | 2 x - 1 | - [x]$ 的零点个数为.

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12. 已知点M是边长为2的正 $△ A B C$ 内一点，且 $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，若 $λ + μ = \frac{1}{3}$ ，则 $\vec{M B} \cdot \vec{M C}$ 的最小值为.

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13. 已知等腰梯形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 60^{\circ}$ ， $A B = 2$ ，若梯形上底 $C D$ 上存在点P，使得 $P A = \sqrt{2} P B$ ，则该梯形周长的最大值为.

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14. 锐角 $Δ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为角 $A ， B ， C$ 的对边，若 $a \cos B = b (1 + \cos A)$ ，则 $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b}{c}$ 的取值范围为.

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二、解答题

15. 设函数 $f (x) = \cos x \cdot \sin (x + \frac{π}{3}) - \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、若函数 $g (x) = f (x + \frac{π}{4})$ ，求函数 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 上的最值．

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16. 如图，四面体 $A B C D$ 被一平面所截，平面与四条棱 $A B ， A C ， C D ， B D$ 分别相交于 $E ， F ， G ， H$ 四点，且截面 $E F G H$ 是一个平行四边形， $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C ⊥ C D$ . 求证：

(1)、 $E F // B C$ ；

(2)、 $E F ⊥$ 平面 $A C D$ .

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17. 如图，边长为1的正方形区域OABC内有以OA为半径的圆弧 $A E C$ .现决定从AB边上一点D引一条线段DE与圆弧 $A E C$ 相切于点E ，从而将正方形区域OABC分成三块：扇形COE为区域I，四边形OADE为区域II，剩下的CBDE为区域III.区域I内栽树，区域II内种花，区域III内植草.每单位平方的树、花、草所需费用分别为 $5 a$ 、 $4 a$ 、 $a$ ，总造价是W ，设 $∠ A O E = 2 θ$

(1)、分别用 $θ$ 表示区域I、II、III的面积；

(2)、将总造价W表示为 $θ$ 的函数，并写出定义域；

(3)、求 $θ$ 为何值时，总造价W取最小值？

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右准线为直线 $x = 4$ ，左顶点为A，右焦点为F. 已知斜率为2的直线l经过点F，与椭圆E相交于 $B ， C$ 两点，且O到直线l的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、若过O的直线 $m ： y = k x$ 与直线 $A B ， A C$ 分别相交于 $M ， N$ 两点，且 $| O M | = | O N |$ ，求k的值.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} (a \in R)$ .

(1)、若曲线 $f (x)$ 与直线 $l ： y = (e - 2) x + b (b \in R)$ 在 $x = 1$ 处相切.
①求 $a + b$ 的值；

②求证：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq (e - 2) x + b$ ；

(2)、当 $a = 0$ 且 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，关于的 $x$ 不等式 $x^{2} f (x) \leq m x + 2 \ln x + 1$ 有解，求实数m的取值范围.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为非零实数，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{S_{n + 1}} = \frac{a_{n}}{a_{n + 2}}$ .

(1)、若 $S_{3} = 3$ ，求 $a_{3}$ 的值；

(2)、若 $a_{2021} = 2021 a_{1}$ ，求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列；

(3)、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得 $| 2^{a_{n}} - 2^{a_{m}} | \leq λ | a_{n}^{2} - a_{m}^{2} |$ 对任意正整数 $m ， n$ 恒成立，若存在，求实数 $λ$ 的取值范围，若不存在，说明理由.

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21. 已知矩阵 $A = [\begin{array}{l} - 1 \\ 0 \end{array} \begin{matrix} \end{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 2 \end{array}]$ ，求矩阵A的逆矩阵 $A^{- 1}$ 的特征值．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程是： ${\begin{array}{l} x = 2 \cos α, \\ y = m + 2 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ \cos (θ + \frac{π}{3}) = 1$ ．若直线l与曲线C相交于 $P 、 Q$ 两点，且 $P Q = 2 \sqrt{3}$ ，求实数m的值.

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23. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，已知 $△ A B D ， △ B C D$ 都是边长为 $2$ 的等边三角形， $E$ 为 $B D$ 中点，且 $A E ⊥$ 平面 $B C D$ ， $F$ 为线段 $A B$ 上一动点，记 $\frac{B F}{B A} = λ$ .

(1)、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，求异面直线 $D F$ 与 $B C$ 所成角的余弦值；

(2)、当 $C F$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ 时，求 $λ$ 的值.

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24. 一个笼子里关着10只猫，其中有7只白猫，3只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻.如果10只猫都钻出了笼子，以X表示7只白猫被3只黑猫所隔成的段数．例如，在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中，则 $X = 3$ ．

(1)、求三只黑猫挨在一起出笼的概率；

(2)、求X的分布列和数学期望.

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