江苏省盐城市2020届高三下学期第四次模拟数学试题

试卷更新日期：2020-06-30 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 若集合 $A = {x | x \leq m}$ ， $B = {x | x \geq - 1}$ ，且 $A \cap B = {m}$ ，则实数m的值为.

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2. 已知i为虚数单位，复数z满足z(3＋i)＝10，则 $| z |$ 的值为.

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3. 从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为.

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4. 如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250].若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为天.

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5. 执行如图所示的流程图，输出k的值为.

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6. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线为 $y = \pm 2 x$ ，则其离心率的值为.

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7. 若三棱柱ABC—A₁B₁C₁的体积为12，点P为棱AA₁上一点，则四棱锥P—BCC₁B₁的体积为.

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8. “ $ω$ ＝2”是“函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6})$ 的图象关于点( $\frac{5 π}{12}$ ，0)对称”的条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）.

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9. 在△ABC中，C＝B＋ $\frac{π}{4}$ ，AB＝ $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ AC ，则tanB的值为.

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10. 若数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n} = 2^{n - 1} + {(- 1)}^{n} (2 n - 1)$ ，则 $2 a_{100} - S_{100}$ 的值为.

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11. 若集合P＝ ${(x ， y) | x^{2} + y^{2} - 4 x = 0}$ ，Q＝ ${(x ， y) | \frac{| x + 2 |}{y} \geq \sqrt{15}}$ ，则P $\cap$ Q表示的曲线的长度为.

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12. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} m + e^{x} ， x > 0 \\ e^{2} x - 1 ， x \leq 0 \end{array}$ 的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m的最大值是.

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13. 在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A的平分线与边BC的交点为D ，点E为边BC的中点，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ ＝90，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A E}$ 的值是.

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14. 若实数x ， y满足4x²＋4xy＋7y²＝1，则7x²﹣4xy＋4y²的最小值是.

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二、解答题

15. 若函数 $f (x) = M \sin (ω x + φ)$ (M＞0， $ω$ ＞0，0＜ $φ$ ＜ $π$ )的最小值是﹣2，最小正周期是2 $π$ ，且图象经过点N( $\frac{π}{3}$ ，1).

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在△ABC中，若 $f (A) = \frac{8}{5}$ ， $f (B) = \frac{10}{13}$ ，求cosC的值.

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16. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC ，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD ．求证：

(1)、求证：PA∥平面BDE；

(2)、求证：平面PAC⊥平面BDE.

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17. 如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l₁ ， l₂ ，一自然景观的边界近似为圆形，其半径约为1千米，景观的中心C到l₁ ， l₂的距离相等，点C到点O的距离约为10千米.现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段OC上取一点P ，新建一条道路OP ，并过点P新建两条与圆C相切的道路PM ， PN（M ， N为切点），同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB（A ， B分别在l₁ ， l₂上）.为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和越大越好，求新建道路长度之和的最大值.（所有道路宽度忽略不计）

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18. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a＞b＞0)的短轴长为2，F₁ ， F₂分别是椭圆C的左、右焦点，过点F₂的动直线与椭圆交于点P ， Q ，过点F₂与PQ垂直的直线与椭圆C交于A、B两点.当直线AB过原点时，PF₁＝3PF₂.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若点H(3，0)，记直线PH ， QH ， AH ， BH的斜率依次为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ， $k_{4}$ .
①若 $k_{1} + k_{2} = \frac{2}{15}$ ，求直线PQ的斜率；

②求 $(k_{1} + k_{2}) (k_{3} + k_{4})$ 的最小值.

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19. 如果存在常数k使得无穷数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{m n} = k a_{m} a_{n}$ 恒成立，则称为 $P (k)$ 数列.

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 是 $P (1)$ 数列， $a_{6} = 1$ ， $a_{12} = 3$ ，求 $a_{3}$ ；

(2)、若等差数列 ${b_{n}}$ 是 $P (2)$ 数列，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(3)、是否存在 $P (k)$ 数列 ${c_{n}}$ ，使得 $c_{2020}$ ， $c_{2021}$ ， $c_{2022}$ ，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列 ${c_{n}}$ ；若不存在，请说明理由.

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20. 设函数 $f (x) = - 3 \ln x + x^{3} + a x^{2} - 2 a x$ .

(1)、若a＝0时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在x＝1时取极大值，求实数a的取值范围；

(3)、设函数 $f (x)$ 的零点个数为m ，试求m的最大值.

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21. 已知矩阵A＝ $[\begin{array}{l} a 2 \\ b 1 \end{array}]$ ，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为 $\vec{α} = [\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}]$ ，求该矩阵属于另一个特征值的特征向量.

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22. 在极坐标系中，已知直线 $l : ρ \cos θ + 2 ρ \sin θ = m$ （m为实数），曲线 $C : ρ = 2 \cos θ + 4 \sin θ$ ，当直线l被曲线C截得的弦长取得最大值时，求实数m的值.

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23. 已知实数x、y、z满足 $x + y + 2 z = 1$ ，求 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的最小值.

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24. 如图，抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过点 $P (2 ， 0)$ 作直线l与抛物线交于A、B两点，当直线l与x轴垂直时 $A B$ 长为 $4 \sqrt{2}$ .

(1)、求抛物线的方程；

(2)、若 $△ A P F$ 与 $△ B P O$ 的面积相等，求直线l的方程.

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25. 若有穷数列 ${a_{n}}$ 共有 $k$ 项 $(k \geq 2)$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $\frac{a_{r + 1}}{a_{r}} = \frac{2 (r - k)}{r + 1}$ ，当 $1 \leq r \leq k - 1$ 时恒成立.设 $T_{k} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$ .

(1)、求 $T_{2}$ ， $T_{3}$ ；

(2)、求 $T_{k}$ .

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