江苏省南京市2020届高三下学期数学6月第三次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-06-30 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合A＝ ${x | 2 < x < 4}$ ，B＝ ${x | 1 < x < 3}$ ，则A $\cup$ B＝．

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2. 若 $z = \frac{a}{1 + i} + i$ （i是虚数单位）是实数，则实数a的值为．

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3. 某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为．

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4. 如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为．

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5. 若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为．

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6. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ (其中 $ω$ ＞0， $- \frac{π}{2} < φ \leq \frac{π}{2}$ )部分图象如图所示，则 $f (\frac{π}{2})$ 的值为．

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，若 $a_{1} = 2$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3} - 2$ 成等差数列，则 ${a_{n}}$ 的前n项和为．

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8. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a＞0，b＞0)的右焦点为F ．若以F为圆心，a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ， B两点，且AB＝2b ，则该双曲线的离心率为．

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9. 若正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为2，则三棱锥A—B₁CD₁的体积为．

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2, x \leq 0 \\ f (- x), x > 0 \end{array}$ ， $g (x) = f (x - 2)$ ，若 $g (x - 1) \geq 1$ ，则实数x的取值范围为．

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11. 在平面直角坐标系xOy中，A ， B是圆O：x²＋y²＝2上两个动点，且 $\vec{O A}$ ⊥ $\vec{O B}$ ，若A ， B两点到直线l：3x＋4y﹣10＝0的距离分别为d₁ ， d₂ ，则d₁＋d₂的最大值为．

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12. 若对任意a $\in$ [e ， $+ \infty$ )（e为自然对数的底数），不等式 $x \leq e^{a x + b}$ 对任意x $\in$ R恒成立，则实数b的取值范围为．

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13. 已知点P在边长为4的等边三角形ABC内，满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，且 $2 λ + 3 μ = 1$ ，延长AP交边BC于点D ，若BD＝2DC ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的值为．

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14. 在△ABC中， $A = \frac{π}{3}$ ，D是BC的中点．若AD $\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ BC ，则 $\sin B \sin C$ 的最大值为．

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二、解答题

15. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ， PA⏊PD ， E ， F分别为AD ， PB的中点．求证：

(1)、EF//平面PCD；

(2)、平面PAB⏊平面PCD ．

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16. 已知向量 $\vec{m}$ ＝(cosx ， sinx)， $\vec{n}$ ＝(cosx ， ﹣sinx)，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + \frac{1}{2}$ ．

(1)、若 $f (\frac{x}{2}) = 1$ ，x $\in$ (0， $π$ )，求tan(x＋ $\frac{π}{4}$ )的值；

(2)、若 $f (α) = - \frac{1}{10}$ ， $α \in$ ( $\frac{π}{2}$ ， $\frac{3 π}{4}$ )， $\sin β = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ， $β \in$ (0， $\frac{π}{2}$ )，求 $2 α + β$ 的值．

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17. 如图，港口A在港口O的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD ，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径为 $8 \sqrt{5}$ 海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB＝ $20 \sqrt{13}$ 海里，tan∠AOB＝ $\frac{2}{3}$ ，cos∠AOD＝ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，现一艘科考船以 $10 \sqrt{5}$ 海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇.

(1)、若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；

(2)、在无触礁危险的情况下，若快艇再等x小时出发，求x的最小值.

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18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a＞b＞0)经过点(﹣2，0)和 $(1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，椭圆C上三点A ， M ， B与原点O构成一个平行四边形AMBO.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若点B是椭圆C左顶点，求点M的坐标；

(3)、若A ， M ， B ， O四点共圆，求直线AB的斜率.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2} - a x + a}$ (a $\in$ R)，其中e为自然对数的底数．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调减区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 的定义域为R ，且 $f (2) > f (a)$ ，求a的取值范围；

(3)、证明：对任意 $a \in (2 ， 4)$ ，曲线 $y = f (x)$ 上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．

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20. 若数列 ${a_{n}}$ 满足n≥2时， $a_{n} \neq 0$ ，则称数列 ${\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}$ (n $\in N^{*}$ )为 ${a_{n}}$ 的“L数列”．

(1)、若 $a_{1} = 1$ ，且 ${a_{n}}$ 的“L数列”为 ${\frac{1}{2^{n}}}$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n} = n + k - 3 (k > 0)$ ，且 ${a_{n}}$ 的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；

(3)、若 $a_{n} = 1 + p^{n - 1}$ ，其中p＞1，记 ${a_{n}}$ 的“L数列”的前n项和为 $S_{n}$ ，试判断是否存在等差数列 ${c_{n}}$ ，对任意n $\in N^{*}$ ，都有 $c_{n} < S_{n} < c_{n + 1}$ 成立，并证明你的结论．

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21. 已知矩阵A＝ $[\begin{array}{l} 1 - 1 \\ a 0 \end{array}]$ ，a $\in$ R ．若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，﹣2)．

(1)、求矩阵A；

(2)、求点Q(0，3)经过矩阵A的2次变换后对应点Q′的坐标．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos θ \\ y = \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} t \\ y = 1 + t \end{array}$ （t为参数），求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

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23. 已知为a ， b非负实数，求证： $a^{3} + b^{3} \geq \sqrt{a b} (a^{2} + b^{2})$ ．

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24. 如图，在直三棱柱中ABC—A₁B₁C₁ ， AB⏊AC ， AB＝3，AC＝4，B₁C⏊AC₁ ．

(1)、求AA₁的长；

(2)、试判断在侧棱BB₁上是否存在点P ，使得直线PC与平面AA₁C₁C所成角和二面角B—A₁C—A的大小相等，并说明理由．

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25. 口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n $\in N^{*}$ )次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为 $P_{n}$ ．

(1)、求 $P_{1}$ ；

(2)、证明： $P_{n + 1} < P_{n}$ ．

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