福建龙岩市2020届高三毕业班文数六月份教学质量检查试卷

试卷更新日期：2020-06-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $\frac{i}{1 + 3 i} =$ （）

A、 $\frac{3}{10} - \frac{1}{10} i$ B、 $\frac{3}{10} + \frac{1}{10} i$ C、 $\frac{1}{10} - \frac{3}{10} i$ D、 $\frac{1}{10} + \frac{3}{10} i$

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2. 已知全集 $U = R$ ，集合 $M = {x | | x - 2 | \leq 1}$ ，则 $C_{U} M =$ （）

A、 $(1, 3)$ B、 $[1, 3]$ C、 $(- \infty, 1) \cup (3, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1] \cup [3, + \infty)$

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3. 设 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 的前n项和，且a₃= $\frac{3}{2}$ ，S₃= $\frac{9}{2}$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、6 C、 $\frac{3}{2}$ 或6 D、 $- \frac{3}{2}$ 或 $- 6$

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4. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2, | 2 \vec{a} - \vec{b} | = 2$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 用数字1，2，3组成无重复数字的三位数，那么所有的三位数中是奇数的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 执行如图所示的程序框图，若输入k，n的值均是0，则输出T的值为（）

A、9 B、16 C、25 D、36

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7. 已知 $△ A B C$ 中的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， $A = \frac{2 π}{3}$ ， $a = 7$ ， $c = 5$ ，则 $\sin A ： \sin B =$ （）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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8. 若过直线 $3 x - 4 y + 2 = 0$ 上一点M向圆Γ： ${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ 作一条切线于切点T，则 $| M T |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9. 已知 $α$ 为第二象限角， $\sin α + \cos α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 或 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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10. 若关于x的不等式 $a x e^{x} - 1 \geq \ln x + x$ 恒成立，则实数a的取值范围为（）

A、 $[e, + \infty)$ B、 $[\frac{e}{2}, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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11. 设A，B为双曲线Γ： $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左，右顶点，F为双曲线Γ右焦点，以原点O为圆心， $| O F |$ 为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，则tan∠AMB=（）

A、4 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{6}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} + a_{n - 1} (n \geq 2)$ ，又 ${a_{n}}$ 的前项和为S_n ，若S₆=52，则a₅=（）

A、13 B、15 C、17 D、31.

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13. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，满足不等式 $f (x) \geq f (- \frac{π}{6})$ 在R上恒成立，在 $(\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2})$ 上恰好只有一个极值点，则实数 $ω =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{19}{18}$ C、 $\frac{27}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

14. 函数 $y = (2 x^{2} + 1) e^{x}$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线方程为.

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15. 若实数x、y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \\ x + 3 y - 3 \geq 0 \end{matrix}$ ，则z=2x-y的最大值为.

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16. 一条河的两岸平行，河的宽度d=4km，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，已知船的速度 $| v_{1} |$ =10km/h，水流速度 $| v_{2} |$ =2km/h，.那么行驶航程最短时，所用时间是(h).(附： $\sqrt{6}$ ≈2.449，精确到0.01h)

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17. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = 2$ ， $A B = 4$ ， $A C = 3$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的半径R=

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三、解答题

18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2 n^{2} + b n$ ，（ $n \in R^{*}$ ）， $a_{3} = 11$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ ，求 $T_{n} = \frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + \dots + \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ 之和.

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19. 某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评价情况，随机调查100 名用户，根据这100名用户对该电讯企业的评分，绘制频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组为 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ，…… $[90 ， 100)$ .

(1)、估计该地区用户对该电讯企业评分不低于70分的概率，并估计对该电讯企业评分的中位数；

(2)、现从评分在 $[40 ， 60)$ 的调查用户中随机抽取2人，求2人评分都在 $[40 ， 50)$ 的概率.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $C D = \sqrt{5}$ ， $A D = 2 \sqrt{5}$ ， $P A = 4$ .

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求B点到平面 $P C D$ 的距离

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21. 已知椭圆Γ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为F₁( $- \sqrt{2}$ ，0)，F₂( $\sqrt{2}$ ，0)，椭圆的左，右顶点分别为A，B，已知椭圆Γ上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为k₁ ， k₂ ，满足 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆Γ的标准方程；

(2)、若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆Γ于M，N两点，问x轴上是否存在一定点Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - a x (a \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 1 - e^{2 x}$ 在 $x \geq 0$ 时恒成立，求实数a的取值范围；

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23. 在平面直角坐标系xOy中，点P是曲线 $C_{1} :$ ${\begin{matrix} x = t + \frac{1}{t} \\ y = 2 (t - \frac{1}{t}) \end{matrix}$ (t为参数)上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为： $ρ = \frac{2}{\sin θ - 3 \cos θ}$

(1)、求曲线C₁ ， C₂的直角坐标下普通方程；

(2)、已知点Q在曲线C₂上，求 $| P Q |$ 的最小值以及取得最小值时P点坐标..

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24. 已知 $f (x) = | a x + 1 |, a \in R$

(1)、若关于x的不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集为 ${x | - 2 \leq x \leq 1}$ ，求实数a的值；

(2)、若 $x \in (0, \frac{1}{2})$ 时，不等式 $f (x) \leq 2 - | 2 x - 1 |$ 恒成立.求实数a的取值范围.

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