辽宁省辽南协作校2020届高三理数第二次模拟试卷

试卷更新日期：2020-06-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | x (1 - x) > 0}$ ， $B = {x | x < 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0 ， 1)$ B、R C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(- \infty ， 1) \cup (1 ， + \infty)$

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2. 已知复数 $z = i + i^{2020}$ .则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、0 D、2

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3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取 $2 %$ 的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）

A、100，40 B、100，20 C、200，40 D、200，20

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4. 设 $l$ 是直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面（）

A、若 $l / / α$ ， $l / / β$ ，则 $α / / β$ B、若 $l / / α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $l ⊥ α$ ，则 $l ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $l / / α$ ，则 $l ⊥ β$

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5. 已知 $a > b$ ，则条件“ $c \leq 0$ ”是条件“ $a c < b c$ ”的（）条件.

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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6. 如图所示算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的 $a 、 b$ 分别为12、30，则输出的 $a =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、18

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7. 某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩，则至少有两个孩子是女孩的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知半径为r的圆M与x轴交于 $E ， F$ 两点，圆心M到y轴的距离为d.若 $d = | E F |$ ，并规定当圆M与x轴相切时 $| E F | = 0$ ，则圆心M的轨迹为（）

A、直线 B、圆 C、椭圆 D、抛物线

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9. 已知周期为 $π$ 的函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ) - \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 是奇函数，把 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的一个单调增区间为（）

A、 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ B、 $[- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ C、 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ D、 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n ， n \in N$ .则 $\sum_{i = 2}^{n} \frac{1}{a_{i} - a_{1}} =$ （）

A、 $\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$ B、 $\frac{n - 1}{n}$ C、 $n (n - 1)$ D、 $\frac{1}{2 n}$

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11. 在直角坐标系 $x O y$ 中，F是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点， $A ， B$ 分别为左、右顶点，过点F作X轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接 $P B$ 交y轴于点E，连接 $A E$ 交 $P Q$ 于点M，若M是线段 $P F$ 的中点，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 满足 $x^{2} f^{'} (x) + 2 x f (x) = 1 + \ln x ， f (e) = \frac{1}{e}$ .当 $x > 0$ 时，下列说法：① $f (\frac{1}{e}) = e$ ；② $f (x)$ 只有一个零点；③ $f (x)$ 有两个零点；④ $f (x)$ 有一个极大值.其中正确的是（）

A、①③ B、②③ C、①④ D、②④

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = 4 + \log_{a} (2 x - 3)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点P，且点P在函数 $g (x) = x^{α}$ 的图象上，则 $α =$ .

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1}, a_{2}, a_{5}$ 成公比不为1的等比数列，且 $a_{9} = 4$ ，则公差 $d =$ .

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15. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $60^{°}$ ，且 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 1$ .若平面向量 $\vec{m}$ 满足 $\overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{a} = 2 \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{b} = 2$ ，则 $| \vec{m} | =$ .

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16. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点在球O的球面上， $P A = P B = P C$ ， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形，E为 $P A$ 中点， $B E = \frac{\sqrt{5}}{2} P B$ ，则球O的体积为.

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$ ，且 $\cos \frac{B + C}{2} + \cos A = 1$ .

(1)、求角A的值.

(2)、若 $△ A B C$ 面积为 $3 \sqrt{3}$ ，且 $b + c = 7 (b > c)$ ，求a及 $\sin B$ 的值.

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18. 数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用，它用统计的方法来帮助人们分析以往的行为习惯，进而指导人们接下来的行动.

某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员，他收集到了甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数，如下表：

场次	第一场	第二场	第三场	第四场	第五场
甲	28	33	36	38	45
乙	39	31	43	39	33

(1)、根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数，完成茎叶图（茎表示十位，叶表示个位）；分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图；

(2)、求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差；

(3)、

s_{甲}^{2} = \frac{{(28 - 36)}^{2} + {(33 - 36)}^{2} + {(36 - 36)}^{2} + {(38 - 36)}^{2} + {(45 - 36)}^{2}}{5} = \frac{64 + 9 + 0 + 4 + 81}{5} = \frac{158}{5} = 31.6

s_{乙}^{2} = \frac{{(39 - 37)}^{2} + {(31 - 37)}^{2} + {(43 - 37)}^{2} + {(39 - 37)}^{2} + {(33 - 37)}^{2}}{5} = \frac{4 + 36 + 36 + 4 + 16}{5} = \frac{96}{5} = 19.2

主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平，同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力.你认为主教练应选哪位球员?并说明理由.

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19. 已知矩形 $A B C D ， A B = 2 B C$ ， $E$ 为 $D C$ 中点，将 $△ B C D$ 至 $B D$ 折起，连结 $A C 、 A E 、 B E$ .

(1)、当 $A E ⊥ B C$ 时，求证： $A D ⊥ A C$ ；

(2)、当 $\vec{A E} \cdot \vec{B E} = - \frac{1}{2}$ 时，求二面角 $C - B D - A$ 的余弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \ln x - a$ .

(1)、若 $a = 3$ .证明函数 $f (x)$ 有且仅有两个零点；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $e^{x_{1} x_{2}} > e^{x_{1}} + e^{x_{2}} + 2 - 2 a$ .

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21. 已知点 $M$ 是抛物线 $C_{1}$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线与 $x$ 轴的交点，点 $P$ 是抛物线 $C_{1}$ 上的动点，点 $A$ 、 $B$ 在 $y$ 轴上， $△ A P B$ 的内切圆为圆 $C_{2}$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，且 $| M C_{2} | = 3 | O M |$ ，其中 $O$ 为坐标原点.

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、求 $△ A P B$ 面积的最小值.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 4 t + a^{2} \\ y = 3 t - 1 \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + | a | \cos θ \\ y = - 2 a^{2} + \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）.

(1)、求 $l$ 和 $C$ 的普通方程；

(2)、将 $l$ 向左平移 $m (m > 0)$ 后，得到直线 $l^{'}$ ，若圆 $C$ 上只有一个点到 $l^{'}$ 的距离为1，求 $m$ .

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23. 设函数 $f (x) = | x - a | + | x - 4 | (a \neq 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < x$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq \frac{4}{a} - 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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