辽宁省锦州市2020届高三理数4月质量检测（一模)试卷

试卷更新日期：2020-06-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = - x^{2} + 5}, B = {x | y = \sqrt{x - 3}}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[1, 3]$ C、 $[3, 5]$ D、 $(3, 5]$

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2. 若复数z满足z（i-1）=2i（i为虚数单位），则 $\bar{z}$ 为（）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (x, 4)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则x=（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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4. 数据5，7，7，8，10，11的中位数和标准差分别为（）

A、中位数为7，标准差为2 B、中位数为7，标准差为4 C、中位数为7.5，标准差为4 D、中位数为7.5，标准差为2

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5. 设 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则 $α ⊥ β$ 的一个充分不必要条件是（）

A、 $m ⊥ α, m ⊥ β$ B、 $m \subset α, n \subset β, m ⊥ n$ C、 $m ⊥ β, m$ ∥ $α$ D、 $m$ ∥ $n, m ⊥ α, n ⊥ β$

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6. 已知 $a = \log_{2020} \frac{1}{π}$ ， $b = {(\frac{1}{π})}^{2020}$ ， $c = 2020^{\frac{1}{π}}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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7. 已知等比数列{a_n}中，若a₅+a₇＝8，则a₄（a₆+2a₈）+a₃a₁₁的值为（）

A、8 B、16 C、64 D、128

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $M (- 1, 2), N (1, 0)$ ，动点P满足 $| \overset{⇀}{P M} \cdot \overset{⇀}{O N} | = | \overset{⇀}{P N} |$ ，则动点P的轨迹方程是（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $x^{2} = 4 y$ C、 $y^{2} = - 4 x$ D、 $x^{2} = - 4 y$

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9. 函数 $f (x) = (\frac{2}{1 + e^{x}} - 1) \sin x$ 图象的大致形状是（）.

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $f (x) = 2 (| \cos x | + \cos x) \cdot \sin x$ ，给出下列四个命题：（）
① $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ② $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称③ $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增④ $f (x)$ 的值域为 $[- 2 ， 2]$

其中所有正确的编号是（）

A、②④ B、①③④ C、③④ D、②③

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11. 圆 $C : x^{2} + y^{2} - 10 x + 16 = 0$ 上有且仅有两点到双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）

A、 $(\frac{5}{4}, \frac{5}{2})$ B、 $(\sqrt{2}, \sqrt{5})$ C、 $(\frac{5}{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{2})$ D、 $(\sqrt{5}, \sqrt{2} + 1)$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $(0 + \infty)$ 上的增函数，且恒有 $f [f (x) - \ln x] = 1$ ，若 $\forall x > 0$ ， $f (x) ⩽ a x - 1$ ，则 $a$ 的最小值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{e}$ C、1 D、e

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二、双空题

13. 某校期末考试后，随机抽取200名高三学生某科的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组： $[50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ， [90 ， 100)$ .据此绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计该校高三学生该门学科成绩的及格率约为（60分以上为及格），这200名学生中成绩在 $[80 ， 90)$ 中的学生有名.

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三、填空题

14. 若 $f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 2 x + \frac{1}{x}$ 对任意非零实数 $x$ 恒成立，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为.

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15. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的 $\frac{1}{7}$ 是较小的两份之和，则最小一份的量为.

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16. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2 ， B C = 4$ ， $E$ 为 $A D$ 中点，则三棱锥 $A_{1} - C D E$ 外接球的表面积为.

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四、解答题

17. 已知在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\frac{\sin C - \sin A}{\sin B - \sin A} = \frac{b}{a + c}$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = 3$ ，求a+b的取值范围.

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18. 某学校开设了射击选修课，规定向A、B两个靶进行射击：先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A靶射击，命中的概率为 $\frac{4}{5}$ ，向B靶射击，命中的概率为 $\frac{3}{4}$ ，假设小明同学每次射击的结果相互独立.现对小明同学进行以上三次射击的考核.

(1)、求小明同学恰好命中一次的概率；

(2)、求小明同学获得总分X的分布列及数学期望 $E (X)$ .

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19. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 120^{°}$ ， $A B = A C = 2 ， A A_{1} = \sqrt{3}$ ，E是 $B C$ 的中点，F是 $A_{1} E$ 上一点，且 $A_{1} F = 3 F E$ .

（Ⅰ）证明： $A F ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B - A_{1} E - B_{1}$ 余弦值的大小.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，过点 $(- 1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设椭圆的右焦点为F，定点 $P (2, 0)$ ，过点F且斜率不为零的直线 $l$ 与椭圆交于A，B两点，以线段 $A P$ 为直径的圆与直线 $x = 2$ 的另一个交点为Q，试探究在 $x$ 轴上是否存在一定点M，使直线 $B Q$ 恒过该定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x (a - \ln x) ， g (x) = x^{2} + e^{- x}$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上的单调性；

（Ⅱ）设 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，若 $h (x)$ 的最大值为0，求 $a$ 的值；

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} + 2 c o s α ， \\ y = 2 + 2 s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），直线 $C_{2}$ 的方程为 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线 $C_{2}$ 与曲线 $C_{1}$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，求 $| O P | \cdot | O Q |$ 的值.

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23. 已知函数f（x）=|x-m|-|2x+2m|（m＞0）．
（Ⅰ）当m=1时，求不等式f（x）≥1的解集；

（Ⅱ）若∀x∈R，∃t∈R，使得f（x）+|t-1|＜|t+1|，求实数m的取值范围．

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