辽宁省葫芦岛市2020届高三下学期理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-06-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数z满足 $\bar{z} (1 - i) = 2 i$ ，则复数 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $1 + i$ D、 $- 1 - i$

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2. 设集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 3} ， B = {x | x^{2} - 2 x - 8 < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 4}$ B、 ${x | 1 \leq x < 2}$ C、 ${x | - 4 < x \leq 3}$ D、 ${x | 1 \leq x < 4}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, 3)$ ， $\vec{b} = (3, m)$ 且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、-2 B、2 C、 $- \frac{9}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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4. 某地区甲､乙､丙､丁四所高中分别有120，150，180，150名高三学生参加某次数学调研考试，为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案:方案①；从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析:方案②:丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试看进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（）

A、分层抽样法､系统抽样法 B、分层抽样法､简单随机抽样法 C、系统抽样法､分层抽样法 D、简单随机抽样法､分层抽样法

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5. 执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）

A、 $- 3$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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6. 某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有6名同学要求改选历史，现历史选修课开有三个班，若每个班至多可再接收3名同学，那么不同的接收方案共有（）

A、150种 B、360种 C、510种 D、512种

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7. “ $k = 0$ ”是“直线 $y = k x - \sqrt{2}$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 相切”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 如图一几何体三视图如图所示，则该几何体外接球表面积是（）

A、 $14 π$ B、 $2 \sqrt{7} π$ C、 $28 π$ D、 $10 π$

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10. 函数 $f (x) = (\frac{2}{1 + e^{x}} - 1) \sin x$ 图象的大致形状是（）.

A、 B、 C、 D、

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11. 已知F是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，过点F作垂直于x轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M，若 $| F M | = \sqrt{3} a$ ，记该双曲线的离心率为e，则 $e^{2} =$ （）

A、 $\frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ C、 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

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12. 关于 $x$ 的方程 $| \frac{t}{x + \frac{1}{x} - 4} | - | \frac{x}{t + \frac{1}{t}} | = 0$ 有四个不同的实数根，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\sqrt{2} (x_{4} - x_{1}) + (x_{3} - x_{2})$ 的取值范围（）

A、 $(2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3} ， 6 \sqrt{2}]$ B、 $(4 \sqrt{3} ， 6 \sqrt{2})$ C、 $(4 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3})$ D、 $[4 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3}]$

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二、填空题

13. $50^{2020} + 2$ 被7除后的余数为．

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14. 设变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \geq 0 \\ x + y \geq 2 \\ 3 x - y - 6 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最小值为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = - 3, a_{n + 1} + \frac{1}{3} a_{n} - \frac{4}{3} = 0$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则满足不等式 $| S_{n} - n - 9 | > \frac{1}{2020}$ 的n的最大值为．

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16. 关于 $x$ 的方程 $(m - 5) x^{2} + 2 \ln x - \frac{1}{x^{2}} + m = 0$ 有两个不等实根，则实数 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sin x \cdot \cos (x - \frac{π}{6}) - \frac{1}{4} (x \in R)$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ 的值和 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、设锐角 $△ A B C$ 的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且 $f (\frac{A}{2}) = \frac{1}{4}$ ， $a = 2$ ，求 $b + c$ 的取值范围．

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A A_{1} = A B = B C = 2$ .

(1)、求证： $B C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C$ ；

(2)、求异面直线 $B_{1} C$ 与 $A_{1} B$ 所成角的大小；

(3)、点 $M$ 在线段 $B_{1} C$ 上，且 $\frac{B_{1} M}{B_{1} C} = λ (λ \in (0 ， 1))$ ，点 $N$ 在线段 $A_{1} B$ 上，若 $M N ∥$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ，求 $\frac{A_{1} N}{A_{1} B}$ 的值（用含 $λ$ 的代数式表示）.

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19. 2020年是具有里程碑意义的一年我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年．（总书记二O二O年新年贺词）截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的

10.2 %

下降至2018年的

1.7 %

；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤．某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．

(1)、将家庭人均纯年收入不足5000元的家庭称为"特困户”若从这50户家族中再取出10户调查致贫原因，求这10户中含有"特困户"的户数X的数学期望；

(2)、2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：

月份/2019（时间代码 $x$ ）	1	2	3	4	5	6
人均月纯收入（元）	275	365	415	450	470	485

由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入 $y$ 与时间代码 $x$ 之间具有较强的线性相关关系，由此估计该家庭2020年能实现小康生活，但2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1，2，3月份）每月的人均月纯收入人均只有2019年12月的预估值的 $\frac{2}{3}$ ，为加快脱贫进程，政府加大扶贫力度，拟从2020年3月份起，以后每月的增长率为 $a$ ，为了使2020年该家庭顺利迈入小康生活，则 $a$ 至少应为多少?（保留小数点后两位数字）；

①可能用到的数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 9310 ， \sqrt{45^{2} + 4 \times 120 \times 4} \approx 62.81 ， {1.15}^{10} \approx 4.05$

②参考公式：线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} - 6 \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} - 6 {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

${(1 + a)}^{n} \approx 1 + C_{n}^{1} a + C_{n}^{2} a^{2} + C_{n}^{3} a^{3} (m \geq 10 ， | a | < 0.15)$

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20. 已知椭圆 $C$ : $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2} ， F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆C的左､右焦点，过 $F_{2}$ 作斜率为 $k$ 的直线l，交椭圆C于A，B两点，且三角形 $△ F_{1} A B$ 周长 $4 \sqrt{2} .$

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若直线 $F_{1} A, F_{1} B$ 分别交y轴于不同的两点M，N．如果 $∠ M F_{1} N$ 为锐角，求k的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = m e^{x} (x + 1) (m \neq 0) ， g (x) = \ln x - a x - a^{2} - 3 a + 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， m)$ 处的切线的方程为 $y = - 8 x - 4$ ，求此时 $f (x)$ 的最值；

(2)、若对任意 $x \in [1 ， + \infty)$ ， $a \in [- 1 ， 0)$ ，不等式 $g (x) > f (a)$ 成立，求实数m的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \cos α \\ y = 1 + \sin α \end{array}$ （其中 $α$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{5} \cos α \\ y = \sin α \end{array}$ （其中 $α$ 为参数），以原点O为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、射线 $l$ ： $θ = φ (ρ \geq 0)$ 与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 分别交于点A，B（且点A，B均异于原点O），当 $0 < φ \leq \frac{π}{2}$ 时，求 ${| O A |}^{2} + {| O B |}^{2}$ 的最小值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x | - | 2 x - 2 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq - 3$ 的解集；

(2)、若 $a \in R$ ，且 $a \neq 0$ ，证明： $| 4 a - 1 | + | \frac{1}{a} + 1 | \geq 4 f (x)$ .

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