辽宁省抚顺市2020届高三理数二模考试试卷

试卷更新日期：2020-06-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 ${x | - 1 < x < 2}$ B、 ${- 1, 0, 1, 2}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${0, 1}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 5 i$ ，则 $z =$ （）．

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $- 1 + 2 i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2, 2 \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为（）．

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 已知 $a = \log_{3} 5$ ， $b = 3^{- 0.2}$ ， $c = 3^{1.2}$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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5. 已知角 $α$ 的终边上有一点 $P (- \sqrt{2}, 2)$ ，则 $\sin (2 α + \frac{3 π}{2}) =$ （）．

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{7}{9}$

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6. 下图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图（虚线代表甲，实线代表乙）.根据下图中的信息，下面说法错误的是（）

A、甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数 B、甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数 C、甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同 D、甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差

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7. 函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{1 - e^{x}}) \cos x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b + c = 8$ ， $b (\sin B - \sqrt{3} \sin C) + c \sin C = a \sin A$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值是（）．

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、8 D、 $8 \sqrt{3}$

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9. 如图，P，Q是函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - π < φ < 0)$ 的图象与 $x$ 轴的两个相邻交点， $M (1 ， 2)$ 是函数 $f (x)$ 的图象的一个最高点，若 $△ M P Q$ 是等腰直角三角形，则函数 $f (x)$ 的解析式是（）

A、 $f (x) = 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{4})$ B、 $f (x) = 2 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{4})$ C、 $f (x) = 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{2})$ D、 $f (x) = 2 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$

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10. 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率 $π$ 的精确度上，首次将“ $π$ ”精确到小数点后第七位，即 $π = 3.1415926 \dots$ ，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字 $a$ ， $b$ ，则事件“ $| a - b | \leq 3$ ”的概率为（）．

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{8}{15}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{7}{15}$

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11. 在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = C D$ ， $A B = 2 B C = 4$ ，四边形 $A B C D$ 的外接圆的圆心在线段 $A C$ 上．若四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为36，则该四棱柱的外接球的表面积为（）．

A、 $164 π$ B、 $96 π$ C、 $84 π$ D、 $36 π$

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12. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的虚轴的一个顶点为 $N (0, 1)$ ，左顶点为M，双曲线C的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P为线段 $M N$ 上的动点，当 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 取得最小值和最大值时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $S_{2} = 2 S_{1}$ ，则双曲线C的离心率为（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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二、填空题

13. 已知点 $(1, 2)$ 在抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上，则该抛物线的焦点坐标为．

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14. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 2 \geq 0 \\ 2 x + y - 2 \geq 0 \\ 3 x - y \leq 3 \end{array}$ ，则 $z = x - 3 y$ 的最小值为.

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15. 已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的体积是．

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16. 若对任意实数 $x \in (- \infty ， 1]$ ， $| \frac{x^{2} - 2 a x + 1}{e^{x}} | \geq 1$ 恒成立，则 $a =$ ．

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三、解答题

17. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{n + 1} - 3 a_{n} + 2 a_{n - 1} = 0$ （ $n \in N_{+}$ 且 $n \geq 2$ ）.

(1)、证明：数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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18. 某中学有教师400人，其中高中教师240人．为了了解该校教师每天课外锻炼时间，现利用分层抽样的方法从该校教师中随机抽取了100名教师进行调查，统计其每天课外锻炼时间（所有教师每天课外锻炼时间均在 $[0 ， 60]$ 分钟内），将统计数据按 $[0 ， 10)$ ， $[10 ， 20)$ ， $[20 ， 30)$ ，…， $[50 ， 60]$ 分成6组，制成频率分布直方图如下：假设每位教师每天课外锻炼时间相互独立，并称每天锻炼时间小于20分钟为缺乏锻炼．

(1)、试估计本校教师中缺乏锻炼的人数；

(2)、从全市高中教师中随机抽取3人，若 $X$ 表示每天课外锻炼时间少于10分钟的人数，以这60名高中教师每天课外锻炼时间的频率代替每名高中教师每天课外锻炼时间发生的概率，求随机变量 $X$ 的分布列与数学期望．

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19. 在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ，且 $A B = 2 C D$ ， $△ A B C$ 是等腰直角三角形，其中 $B C$ 为斜边，若把 $△ A C D$ 沿 $A C$ 边折叠到 $△ A C P$ 的位置，使平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ P A$ ．

(2)、若 $E$ 为棱 $B C$ 的中点，求二面角 $B - P A - E$ 的余弦值．

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20. 已知函数 $f (x) = \sin x - a e^{x} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 在区间 $[- π ， \frac{π}{2}]$ 上的零点个数．

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b >)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且四个顶点构成的四边形的面积是 $8 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、已知直线 $l$ 经过点 $P (- 2, 0)$ ，且不垂直于 $y$ 轴，直线 $l$ 与椭圆C交于A，B两点，M为 $A B$ 的中点，直线 $O M$ 与椭圆 $C$ 交于E，F两点（O是坐标原点），求四边形 $A E B F$ 的面积的最小值．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 \cos α \\ y = 2 + 3 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ \sin (θ - \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求C与l的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线C交于M，N两点，点 $P (- 2, 2)$ ，求 $\frac{1}{| P M |} + \frac{1}{| P N |}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x - 5 |$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求不等式 $f (x) \leq 10$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq 1$ ，求a的取值范围.

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