辽宁省大连市2020届高三下学期理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-06-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 2 < x < 3}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，则集合 $A \cap B$ 为（）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1, 2}$ C、 ${- 1, 0, 1, 2, 3}$ D、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$

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2. 已知复数z满足 $(1 + i) z = 2$ ，则复数z的虚部为（）

A、1 B、-1 C、i D、-i

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3. 下列函数中是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 是增函数的是（）

A、 $y = \ln | x |$ B、 $y = \cos x$ C、 $y = - x^{2}$ D、 $y = x^{3}$

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4. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{4} + a_{5} = 12$ ，则 $S_{8}$ 的值为（）

A、14 B、28 C、36 D、48

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5. PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在 $35 μ g / m^{3}$ 以下空气质量为一级，在 $35 - 75 μ g / m^{3}$ 空气质量为二级，超过 $75 μ g / m^{3}$ 为超标，如图是某地1月1日至10日的PM2.5（单位： $μ g / m^{3}$ ）的日均值，则下列说法正确的是（）

A、10天中PM2.5日均值最低的是1月3日 B、从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高 C、这10天中恰有5天空气质量不超标 D、这10天中PM2.5日均值的中位数是43

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6. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上点B（在第一象限）到焦点F距离为5，则点B坐标为（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(4, 4)$ D、 $(4, \sqrt{3})$

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7. 设非零向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 则“ $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ”是“ $| \vec{m} + 2 \vec{n} | = | \vec{m} - 2 \vec{n} |$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 如图是函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象，则 $ω$ ， $φ$ 的值分别为（）

A、1， $\frac{π}{3}$ B、1， $- \frac{π}{6}$ C、2， $- \frac{π}{6}$ D、2， $\frac{π}{6}$

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9. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $S_{5}$ 值为（）

A、363 B、121 C、80 D、40

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10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则a+b的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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11. 已知a，b是两条直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $a$ ∥ $α$ ， $b$ ∥ $β$ ， $a$ ∥ $b$ 则 $α$ ∥ $β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $a ⊥ α$ ，则 $a$ ∥ $β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $α ⊥ γ$ ， $β \cap γ = a$ ，则 $a ⊥ α$ D、若 $α$ ∥ $β$ ， $a$ ∥ $α$ ，则 $a$ ∥ $β$

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12. 《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成( 表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，记事件 $A =$ “两卦的六根线中恰有两根阳线”， $B =$ “有一卦恰有一根阳线”，则 $P (A | B) =$ （），

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{3}{14}$

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二、填空题

13. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \leq 0 ， \\ x \geq 0 ， \\ y \leq 2 \end{array}$ 则 $z = x + y$ 的最大值为．

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14. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm x$ ，则双曲线的离心率为．

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15. 定义在 $(1, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足下列两个条件（1）对任意的 $x \in (1, + \infty)$ 恒有 $f (2 x) = 2 f (x)$ 成立；（2）当 $x \in (1, 2]$ 时， $f (x) = 2 - x$ ．则 $f (6)$ 的值是．

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三、双空题

16. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 为线段 $B D$ 的中点，设点 $P$ 在线段 $C C_{1}$ 上二面角 $A_{1} - B D - P$ 的平面角为 $α$ ，用图中字母表示角 $α$ 为， $\sin α$ 的最小值是．

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四、解答题

17. 设函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - 2 \cos^{2} (x + \frac{π}{4})$ ．
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）在 $△ A B C$ 中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若 $f (\frac{B}{2}) = 0$ ， $a = \sqrt{3}$ ， $c = 1$ ，求b．

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18. 某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图：

（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中 $a$ 的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ，试比较 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ 的大小（只要求写出结论）；

（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；

（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间 $Z$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ．其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设 $X$ 表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于 $(14.55 ， 38.45)$ 的人数，求 $X$ 的数学期望．

注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得 $s_{2} = \sqrt{142.75} \approx 11.95$

②若 $Z \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.9544$

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为菱形，A在侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 上的投影恰为 $B_{1} C$ 的中点O，E为 $A B$ 的中点．

（Ⅰ）证明： $O E$ ∥平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

（Ⅱ）若 $∠ C B B_{1} = 60 °$ ， $\cos ∠ A C C_{1} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ 在线段 $C_{1} A_{1}$ 上是否存在点F（F不与 $C_{1}$ ， $A_{1}$ 重合）使得直线 $E F$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{7} .$ 若存在，求出 $\frac{C_{1} F}{C_{1} A_{1}}$ 的值；若不存在，说明理由．

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20. 已知过点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ 的曲线 $C$ 的方程为 $\sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} = 2 a$ ．
（Ⅰ）求曲线C的标准方程：

（Ⅱ）已知点 $F (1 ， 0)$ ， $A$ 为直线 $x = 4$ 上任意一点，过F作 $A F$ 的垂线交曲线C于点B，D．

（ⅰ）证明： $O A$ 平分线段 $B D$ （其中O为坐标原点）；

（ⅱ）求 $\frac{| B D |}{| A F |}$ 最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x - x^{2} + 2 π x - a$ ．
（Ⅰ）当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 零点处的切线方程；

（Ⅱ）若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求证： $\frac{1 - π^{2}}{π} (x_{2} - x_{1} - 2 π) \geq a$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = m - | x - 2 |$ ， $m \in R$ ， $g (x) = | x + 3 |$ ．
（Ⅰ）当 $x \in R$ 时，有 $f (x) \leq g (x)$ ，求实数m的取值范围．

（Ⅱ）若不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集为 $[1, 3]$ ，正数 $a$ ， $b$ 满足 $a b - 2 a - b = 3 m - 1$ ，求a+b的最小值．

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