江苏省镇江市九校2020届高三下学期数学3月模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-06-30 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知全集 $U ＝ {﹣ 2 ， ﹣ 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $A ＝ {﹣ 2 ， ﹣ 1 ， 1} ，$ 则 $∁_{U} A ＝$ ．

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2. 已知复数 $z = (1 - i) \cdot (a + i)$ （ $i$ 为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为．

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3. 数据 $1, 3, 5, 7, 9$ 的标准差为．

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4. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - 2^{x}}$ 的定义域是．

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5. 在一底面半径和高都是 $2 m$ 的圆柱形容器中盛满小麦，有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出的 $2 m^{3}$ 种子，则取出了带麦锈病种子的概率是．

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6. 如图是一个算法伪代码，则输出的i的值为.

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 经过点（3，4），则该双曲线的准线方程为．

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8. 设 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和， $S_{3} ， S_{9} ， S_{6}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{2} + a_{5}}{a_{8}}$ 的值为．

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9. 给出下列四个命题，其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）
$①$ 因为 $s i n (x + \frac{π}{3}) \neq s i n x ，$ 所以 $\frac{π}{3}$ 不是函数 $y ＝ s i n x$ 的周期； $②$ 对于定义在 $R$ 上的函数 $f （ x ），$ 若 $f (﹣ 2) \neq f （ 2 ），$ 则函数 $f (x)$ 不是偶函数； $③$ “ $M > N$ ”是“ $l o g_{2} M > l o g_{2} N$ ”成立的充分必要条件； $④$ 若实数 $a$ 满足 $a^{2} \leq 4 ，$ 则 $a \leq 2$ ．

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10. 如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为．

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若函数 $f (x) ＝ l n x ﹣ a x$ 在 $x ＝ 1$ 处的切线与圆 $C ： x^{2} ﹣ 2 x + y^{2} + 1 ﹣ a ＝ 0$ 存在公共点，则实数a的取值范围为．

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12. 已知函数 $f (x) ＝ a x^{3} + b x^{2} + c x ，$ 若关于x的不等式 $f (x) < 0$ 的解集是 $(﹣ \infty ， ﹣ 1) \cup (0 ， 2)$ ，则 $\frac{b + c}{a}$ 的值为．

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13. 在边长为 $4$ 的菱形 $A B C D$ 中， $A ＝ 60 ° ，$ 点 $P$ 在菱形 $A B C D$ 所在的平面内．若 $P A ＝ 3 ， P C ＝ \sqrt{21}$ ，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P D} =$ ．

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 - | (\frac{k + 17}{4}) x + 2 | ， x \leq 0 \\ x^{2} ， x > 0 \end{array}$ ， $g (x) ＝ k (x - \frac{4}{3})$ ，其中 $k > 0$ ．若存在唯一的整数x，使得 $f (x) < g (x)$ ，则实数k的取值范围是．

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二、解答题

15. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C ， B D$ 交于点 $O ， M$ 为棱 $P D$ 的中点， $M A = M C$ ．求证：

(1)、 $P B / /$ 平面 $A M C$ ；

(2)、平面 $P B D ⊥$ 平面 $A M C$ ．

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16. 在锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $\tan A, \tan B, \tan C$ 成等差数列， $\cos A, \sqrt{\cos C}, \cos B$ 成等比数列．

(1)、求A的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为1,求c的值．

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17. 某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以 $A B$ 为直径的圆，且 $A B = 300$ 米，景观湖边界 $C D$ 与 $A B$ 平行且它们间的距离为 $50 \sqrt{2}$ 米．开发商计划从 $A$ 点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作 $P Q$ ．设 $∠ A O P = 2 θ$ ．

(1)、用 $θ$ 表示线段 $P Q ，$ 并确定 $\sin 2 θ$ 的范围；

(2)、为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将 $P Q$ 的长度设计到最长，求 $P Q$ 的最大值．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，右顶点 $A (2 ， 0)$ 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若 $M ， N$ 是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设 $P (- 4 ， 0)$ ，连接 $P M$ 交椭圆C于另一点E．求证：直线 $N E$ 过定点B，并求出点B的坐标；

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19. 已知函数 $f (x) ＝ \frac{a x^{2} + 1}{2 b x}$ ，其中 $a > 0 ， b > 0$ ．

(1)、①求函数 $f (x)$ 的单调区间；
②若 $x_{1} ， x_{2}$ 满足 $| x_{i} | > \frac{1}{\sqrt{a}} (i = 1 ， 2)$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 0 ， x_{2} > 0$ ．求证： $f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) > \frac{\sqrt{a}}{b}$ ．

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20. 已知 ${a_{n}} ， {b_{n}} ， {c_{n}}$ 都是各项不为零的数列，且满足 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} = c_{n} S_{n} ， n \in N * ，$ 其中 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， ${c_{n}}$ 是公差为 $d (d \neq 0)$ 的等差数列．

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 是常数列， $d = 2$ ， $c_{2} = 3$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n} = λ n$ $（ λ$ 是不为零的常数），求证：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列；

(3)、若 $a_{1} = c_{1} = d = k$ （ $k$ 为常数， $k \in N *$ ）， $b_{n} = c_{n}_{+ k} (n \geq 2 ， n \in N *)$ ．求证：对任意 $n \geq 2 ， n \in N * ， \frac{b_{n}}{a_{n}} > \frac{b_{n + 1}}{a_{n + 1}}$ 的恒成立．

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21. 已知二阶矩阵 $A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$ ，矩阵A属于特征值 $λ_{1} = - 1$ 的一个特征向量为 $α_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}]$ ，属于特征值 $λ_{2} = 4$ 的一个特征向量为 $α_{2} = [\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}]$ .求矩阵 $A$ .

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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 \cos α \\ y = \sin α \end{matrix}$ （α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ \cos (θ - \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ ，点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．

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23. 若正数a，b，c满足a+b+c=1，求 $\frac{1}{3 a + 2} + \frac{1}{3 b + 2} + \frac{1}{3 c + 2}$ 的最小值．

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24. 如图，在正四棱锥 $P ﹣ A B C D$ 中，底面正方形的对角线 $A C ， B D$ 交于点O且 $O P ＝ \frac{1}{2} A B ．$

(1)、求直线 $B P$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；

(2)、求锐二面角 $B - P D - C$ 的大小．

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25. 定义：若数列 ${a_{n}}$ 满足所有的项均由 $﹣ 1 ， 1$ 构成且其中-1有m个，1有p个 $(m + p \geq 3)$ ，则称 ${a_{n}}$ 为“ $(m ， p)$ ﹣数列”．

(1)、 $a_{i} ， a_{j} ， a_{k} (i < j < k)$ 为“ $(3 ， 4)$ ﹣数列” ${a_{n}}$ 中的任意三项，则使得 $a_{i} a_{j} a_{k} ＝ 1$ 的取法有多少种？

(2)、 $a_{i} ， a_{j} ， a_{k} (i < j < k)$ 为“ $(m ， p)$ ﹣数列” ${a_{n}}$ 中的任意三项，则存在多少正整数 $(m ， p)$ 对使得 $1 \leq m \leq p \leq 100 ，$ 且 $a_{i} a_{j} a_{k} = 1$ 的概率为 $\frac{1}{2}$ .

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