江苏省扬州市2020届高三下学期数学5月调研测试试卷

试卷更新日期：2020-06-30 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 2}$ ， $B = {x | x > 0}$ ，则 $A \cap B =$ .

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2. 已知 $(1 - i) z = 2 + i$ ，其中i是虚数单位，则复数z的模为.

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3. 已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取名学生.

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4. 如图伪代码的输出结果为.

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5. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq - 1 \\ x + y - 1 \leq 0 \end{array}$ ，则 $2 x - y$ 的最小值为.

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6. 已知 $a \in {- 1, 1}$ ， $b \in {- 3, 1, 2}$ ，则直线 $a x + b y - 1 = 0$ 不经过第二象限的概率为.

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点与抛物线 $y^{2} = 12 x$ 的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为.

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8. 已知 $α$ 为锐角，且 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos α =$ .

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9. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} a_{6} = 3 a_{3}$ ，且 $a_{4}$ 与 $a_{5}$ 的等差中项为2，则 $S_{5} =$ .

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10. 正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，O为上底面 $A B C D$ 的中心，设正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 与正四棱锥 $O - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的侧面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$ .

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11. 已知曲线C： $f (x) = x^{3} - x$ ，直线 $l$ ： $y = a x - a$ ，则“ $a = - \frac{1}{4}$ ”是“直线 $l$ 与曲线C相切”的条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”之一）.

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12. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则 $x + \frac{y}{x} + \frac{16}{x y}$ 的最小值为.

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13. 已知点 $D$ 为圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 的弦 $M N$ 的中点，点A的坐标为 $(1, 0)$ ，且 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} = 1$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O D}$ 的最小值为.

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14. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 1, \frac{n}{4} \notin N^{*} \\ a_{n}, \frac{n}{4} \in N^{*} \end{array}$ ，设 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4 n} \leq λ \cdot 2^{n - 1}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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二、解答题

15. 在 $△ A B C$ 中，已知 $2 S = b c \cos A$ ，其中 $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，a，b，c分别为角A，B，C的对边.

(1)、求角A的值；

(2)、若 $\tan B = \frac{6}{5}$ ，求 $\sin 2 C$ 的值.

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16. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C = B_{1} C$ ，O为四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 对角线交点，F为棱 $B B_{1}$ 的中点，且 $A F ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ .

(1)、证明： $O F / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、证明：四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 为矩形.

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17. 某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图），上面为花篮，支架由三根细钢管组成，考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：①三根细钢管长均为1米（粗细忽略不计），且与地面所成的角均为 $θ (\frac{π}{6} \leq θ \leq \frac{π}{3})$ ；②架面与架底平行，且架面三角形 $A B C$ 与架底三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 均为等边三角形；③三根细钢管相交处的节点 $O$ 分三根细钢管上、下两段之比均为 $2 ： 3$ .定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”.

(1)、当 $θ = \frac{π}{3}$ 时，求“支架高度”；

(2)、求“支架需要空间”的最大值.

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，且椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $l$ ： $y = x + t$ 与椭圆E相交于A、B两点，线段 $A B$ 的中垂线交椭圆E于C、D两点.

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、求线段 $C D$ 长的最大值；

(3)、求 $\vec{A C} \cdot \vec{A D}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = a (x - \frac{1}{x}) (a \in R)$ ， $g (x) = \ln x$ .

(1)、当 $a = 1$ 吋，解不等式 $f (x) - g (x) \leq 0$ ；

(2)、设 $u (x) = x f (x) - g (x)$ .
①当 $a < 0$ 时，若存在 $m ， n \in (0 ， + \infty) (m \neq n)$ ，使得 $u (m) + u (n) = 0$ ，证明： $m n < 1$ ；

②当 $a > 0$ 时，讨论 $u (x)$ 的零点个数.

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20. 对数列 ${a_{n}}$ ，规定 ${Δ a_{n}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的一阶差分数列，其中 $Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n} (n \in N^{*})$ ，规定 ${Δ^{2} a_{n}}$ 为 ${a_{n}}$ 的二阶差分数列，其中 $Δ^{2} a_{n} = Δ a_{n + 1} - Δ a_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = n^{2} (n \in N^{*})$ ，试判断 ${Δ a_{n}}$ ， ${Δ^{2} a_{n}}$ 是否为等差数列，请说明理由？

(2)、数列 ${b_{n}}$ 是公比为 $q$ 的正项等比数列，且 $q \geq 2$ ，对于任意的 $n \in N^{*}$ ，都存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $Δ^{2} b_{n} = b_{m}$ ，求 $q$ 所有可能的取值构成的集合；

(3)、各项均为正数的数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $Δ^{2} c_{n} = 0$ ，对满足 $m + n = 2 k$ ， $m \neq n$ 的任意正整数m、n、k，都有 $c_{m} \neq c_{n}$ ，且不等式 $S_{m} + S_{n} > t S_{k}$ 恒成立，求实数t的最大值.

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21. 已知矩阵 $M = [\begin{array}{l} a & 2 \\ 2 & b \end{array}]$ ， $N = [\begin{array}{l} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{array}]$ ，且 $M N = [\begin{array}{l} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

(1)、求矩阵M；

(2)、直线 $l$ 在矩阵M对应的变换作用下变为直线 $x + 3 y = 0$ ，求直线l的方程.

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22. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 t \\ y = 1 - 3 t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C： $ρ = 2 \sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})$ ，求直线l被曲线C截得的弦长.

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23. 某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1、2、3、4、5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励 $100 m$ 元（ $m$ 为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励 $100 \times 2 = 200$ 元）.

(1)、求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；

(2)、求抽奖者在一次抽奖中获奖金额 $X$ 的概率分布与期望 $E (X)$ .

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24.

(1)、证明： $\frac{1}{k + 1} C_{n}^{k} = \frac{1}{n + 1} C_{n + 1}^{k + 1} (n \in N^{*}, k \in N)$ ；

(2)、计算： ${(- 1)}^{0} C_{2020}^{0} + {(- 1)}^{1} \frac{1}{2} C_{2020}^{1} + {(- 1)}^{2} \frac{1}{3} C_{2020}^{2} + \dots + {(- 1)}^{2020} \frac{1}{2021} C_{2020}^{2020}$ ；

(3)、计算： $\sum_{k = 0}^{2020} {(- 1)}^{k} C_{2020}^{k} \frac{2}{k + 2}$ .

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