江苏省宿迁市2020届高三下学期数学5月联考试卷

试卷更新日期：2020-06-29 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、填空题

1. 已知集合 $A = {x | x > 0}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2}$ ，则 $A \cap^{} B$ 等于．

查看试题解析
2. 若复数 $z$ 满足 $i z = 2 + 4 i$ （i是虚数单位），则复数z的模等于．

查看试题解析
3. 如图所示，运行该流程图，若输入值 $x = - 2$ ，则输出的y值为．

查看试题解析
4. 已知一组数据4，5，6，6，9，则该组数据的方差是．

查看试题解析
5. 从2名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．

查看试题解析
6. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则 $A B$ 的长度为．

查看试题解析
7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 3$ ， $11 a_{5} = 5 a_{8}$ ，则其前n项和 $S_{n}$ 的最小值为．

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = \sin ω x$ $(0 < ω < 4)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后，关于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 对称，则实数 $ω$ 的值为．

查看试题解析
9. 已知圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，记圆锥和球体的体积分别为 $V_{1}$ ， $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值为．

查看试题解析
10. 已知 $θ$ 是第二象限角，且 $\sin θ = \frac{4}{5}$ ，则 $\tan (\frac{θ}{2} - \frac{π}{4})$ 的值为．

查看试题解析
11. 设 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1 + b x}{1 - 2 x}$ 是定义在区间 $(- a, a)$ 上的奇函数，且为单调函数，则 $b^{a}$ 的取值范围是．

查看试题解析
12. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，已知点E，F分别是边 $A B$ ， $A C$ 的中点，点D在边 $B C$ 上．若 $\vec{D E} \cdot \vec{D F} = \frac{13}{4}$ ，则线段 $B D$ 的长为．

查看试题解析
13. 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以 $A B$ 为直径的圆C与直线 $2 x + y - 10 = 0$ 相切，当圆C面积最小时，圆C的标准方程为．

查看试题解析
14. 函数f（x） $= {\begin{array}{l} \frac{2}{| x | + 1} ， x \leq a \\ | x | ， x > a \end{array}$ ，若任意t∈（a﹣1，a），使得f（t）＞f（t+1），则实数a的取值范围为．

查看试题解析

二、解答题

15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形，且 $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $B C = 2 A D$ ，已知平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，E，F分别为 $B C$ ， $P C$ 的中点．求证：

(1)、 $A B / /$ 平面 $D E F$ ；

(2)、 $B C ⊥$ 平面 $D E F$ ．

查看试题解析
16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = \sqrt{6}$ ， $D$ 为 $A B$ 边上一点， $C D = A D = 2$ ，且 $\cos ∠ B C D = \frac{\sqrt{6}}{4}$ ．

(1)、求 $sin B$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

查看试题解析
17. 某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子，它是由半圆 $O_{1}$ 、半圆 $O_{2}$ 和正方形ABCD组成的，且 $A B = 8 c m$ ．设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH ，标签的其中两个顶点E ， F在AM上，另外两个顶点G ， H在CN上（M ， N分别是AB ， CB的中点）．设EF的中点为P ， $∠ F O_{1} P = θ$ ，矩形EFGH的面积为 $S c m^{2}$ ．

(1)、写出S关于 $θ$ 的函数关系式 $S (θ)$

(2)、当 $θ$ 为何值时矩形EFGH的面积最大？

查看试题解析
18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点到焦点的距离为2，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设 $P$ 是椭圆C长轴上的一个动点，过点 $P$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交椭圆C于A，B两点，若 ${| P A |}^{2} + {| P B |}^{2}$ 的值与点P的位置无关，求k的值．

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} + \frac{1}{2} x - \frac{2 a + 1}{2 x} + a$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域上单调增，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 在定义域上不单调，试判定 $f (x)$ 的零点个数，并给出证明过程．

查看试题解析
20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，把满足条件 $a_{n + 1} \leq S_{n}$ $(n \in N^{*})$ 的所有数列 ${a_{n}}$ 构成的集合记为 $M$ ．

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 的通项为 $a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ ，则 ${a_{n}}$ 是否属于M？

(2)、若数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 ${a_{n} + n} \in M$ ，求 $a_{1}$ 的取值范围；

(3)、若数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 ${a_{n}} \in M$ ，数列 ${\frac{4^{n}}{a_{n}}}$ 中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列 ${a_{n}}$ 的通项；若不存在，说明理由．

查看试题解析
21. 已知矩阵 $A = [\begin{array}{l} 3 0 \\ 0 4 \end{array}]$ ．

(1)、求A的逆矩阵 $A^{- 1}$ ；

(2)、求圆 $x^{2} + y^{2} ＝ 144$ 经过 $A^{- 1}$ 变换后所得的曲线的方程．

查看试题解析
22. 已知圆的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 + 2 \cos θ \\ y = 3 + 2 \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以平面直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的单位建立极坐标系，求过圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程．

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | x - 2 |$ ，若 $a + 2 b + c = 3 \sqrt{2}$ $(a, b, c \in R)$ ，且不等式 $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq f (x)$ 恒成立，求实数x的取值范围．

查看试题解析
24. 如图，正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $A D = 1$ ， $D D_{1} = 3$ ，点 $P$ 在 $C C_{1}$ 上，且 $C_{1} P = 2 P C$ ．

(1)、求直线 $A_{1} P$ 与平面 $P D B$ 所成角的正弦值；

(2)、求二面角 $A - B D - P$ 的余弦值．

查看试题解析
25. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 x$ 的焦点为 $F$ ，平行于 $x$ 轴的两条直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别交C于 $A ， B$ 两点，交C的准线于 $P ， Q$ 两点．
（Ⅰ）若 $F$ 在线段 $A B$ 上， $R$ 是 $P Q$ 的中点，证明 $A R / / F Q$ ；

（Ⅱ）若 $Δ P Q F$ 的面积是 $Δ A B F$ 的面积的两倍，求 $A B$ 中点的轨迹方程.

查看试题解析