江苏省泰州市2020届高三下学期数学调研测试试卷

试卷更新日期：2020-06-29 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2}$ ， $B = {2 ， 4 ， 8}$ ，则 $A \cup B =$ ．

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2. 若实数x、y满足 $x + y i = - 1 + (x - y) i$ （i是虚数单位），则 $x y =$ ．

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3. 如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间 $[6 ， 18)$ 内的频数为．

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4. 根据如图所示的伪代码，可得输出的 $S$ 的值为．

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5. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，则离心率等于.

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6. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为 $x$ 、 $y$ ，则 $| x - y | = 1$ 的概率是．

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点 $P$ 到焦点F的距离是它到y轴距离的3倍，则点P的横坐标为．

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8. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为。

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9. 若定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 4) = f (x)$ ， $f (1) = 1$ ，则 $f (6) + f (7) + f (8)$ 的值为．

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10. 将半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为 $9 \sqrt{3} π$ ，则 $R =$ ．

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11. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + a ， x \geq a \\ x^{2} - 1 ， x < a \end{array}$ 只有一个零点，则实数a的取值范围为.

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 在圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 上，且满足 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = - 2$ ，则 $x_{1} + x_{2} + y_{1} + y_{2}$ 的最小值是．

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13. 在锐角 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C A$ 上，若 $\vec{A B} = 3 \vec{A D}$ ， $\vec{A C} = λ \vec{A F}$ ，且 $\vec{B C} \cdot \vec{E D} = 2 \vec{E F} \cdot \vec{E D} = 6$ ， $| \vec{E D} | = 1$ ，则实数 $λ$ 的值为．

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14. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且满足 $A D = B D$ ， $3 \tan^{2} B - 2 \tan A + 3 = 0$ ，则 $\frac{B D}{C D}$ 的取值范围为．

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二、解答题

15. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = A C$ ，点D、E、F分別是 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $B C //$ 平面 $P D E$ ；

(2)、求证：平面 $P A F ⊥$ 平面 $P D E$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sin x \cos x - \frac{1}{2}$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值，并写出相应的x的取值集合；

(2)、若 $f (α) = \frac{\sqrt{2}}{6}$ ， $α \in (- \frac{π}{8} ， \frac{3 π}{8})$ ，求 $\sin 2 α$ 的值．

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17. 某温泉度假村拟以泉眼C为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M、N是圆C上关于直径 $A B$ 对称的两点，以A为圆心， $A C$ 为半径的圆与圆C的弦 $A M$ 、 $A N$ 分别交于点D、E，其中四边形 $A E B D$ 为温泉区，I、II区域为池外休息区，III、IV区域为池内休息区，设 $∠ M A B = θ$ ．

(1)、当 $θ = \frac{π}{4}$ 时，求池内休息区的总面积（III和IV两个部分面积的和）；

(2)、当池内休息区的总面积最大时，求 $A M$ 的长．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为A，过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以 $A B$ 为边作矩形 $A B C D$ ，其中直线 $C D$ 过原点O．当点B为椭圆M的上顶点时， $△ A O B$ 的面积为b，且 $A B = \sqrt{3} b$ ．

(1)、求椭圆M的标准方程；

(2)、求矩形 $A B C D$ 面积S的最大值；

(3)、矩形 $A B C D$ 能否为正方形？请说明理由．

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19. 定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“ $Y Z$ 函数”．

(1)、判断函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}} - 1$ 是否为“ $Y Z$ 函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $g (x) = \ln x - m x (m \in R)$ 是“ $Y Z$ 函数”，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、已知 $h (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} a x^{2} + b x - \frac{1}{3} b$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ ， $a$ 、 $b \in R$ ，求证：当 $a \leq - 2$ ，且 $0 < b < 1$ 时，函数 $h (x)$ 是“ $Y Z$ 函数”．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 、 ${c_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n + 2} - a_{n}$ ， $c_{n} = 2 a_{n + 1} + a_{n}$ ．

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，试判断数列 ${c_{n}}$ 是否为等比数列，并说明理由；

(2)、若 $a_{n}$ 恰好是一个等差数列的前n项和，求证：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列；

(3)、若数列 ${b_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，数列 ${c_{n}}$ 是等差数列，求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列．

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21. 已知列向量 $[\begin{array}{l} a \\ 5 \end{array}]$ 在矩阵 $M = [\begin{array}{l} 3 4 \\ 1 2 \end{array}]$ 对应的变换下得到列向量 $[\begin{array}{l} b - 2 \\ b \end{array}]$ ，求 $M^{- 1} [\begin{array}{l} b \\ a \end{array}]$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \cos α \\ y = \sqrt{3} \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = 4 \sqrt{2}$ ，点P为曲线C上任一点，求点P到直线l距离的最大值．

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23. 已知实数a、b、c满足 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ ， $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} = 3$ ，求证： $a + b + c \leq 3$ ．

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24. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $△ A D E$ 是等腰直角三角形，且 $∠ A D E = \frac{π}{2}$ ， $E F ⊥$ 平面 $A D E$ ， $E F = 1$ ．

(1)、求异面直线 $A E$ 和 $D F$ 所成角的余弦值；

(2)、求二面角 $B - D F - C$ 的余弦值．

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25. 给定 $n (n \geq 3 ， n \in N^{*})$ 个不同的数 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $\dots$ 、 $n$ ，它的某一个排列P的前 $k (k \in N^{*} ， 1 \leq k \leq n)$ 项和为 $S_{k}$ ，该排列 $P$ 中满足 $2 S_{k} \leq S_{n}$ 的 $k$ 的最大值为 $k_{P}$ ．记这n个不同数的所有排列对应的 $k_{P}$ 之和为 $T_{n}$ ．

(1)、若 $n = 3$ ，求 $T_{3}$ ；

(2)、若 $n = 4 l + 1$ ， $l \in N^{*}$ .
①证明：对任意的排列 $P$ ，都不存在 $k (k \in N^{*} ， 1 \leq k \leq n)$ 使得 $2 S_{k} = S_{n}$ ；

②求 $T_{n}$ （用 $n$ 表示）．

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