江苏省苏州市2020届三校高三下学期5月联考数学试题

试卷更新日期：2020-06-29 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 设集合 $A = {- 2, 0, 1, 2}$ ， $B = {x | x - 1 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ .

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2. 设 $z = 3 + 2 i$ ，i为虚数单位，则 $z^{2} =$ .

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3. 为了做好防疫工作，要对复工员工进行体温检测，从4名（含甲、乙两人）随机选2名，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是.

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4.
运行如图所示的伪代码，其结果为．

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5. 如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，则该作品的平均分为.

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6. 函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且它的图象过点 $(- \frac{π}{12}, - \sqrt{2})$ ，则 $φ$ 的值为.

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7. 若抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点是双曲线 $\frac{x^{2}}{2 p} - \frac{y^{2}}{p} = 1$ 的一个焦点，则 $p =$ .

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8. 已知 $α$ 为锐角，若 $2 \sin 2 α = \sin (\frac{π}{2} + 2 α) + 1$ ，则 $\cos α =$ .

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9. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2 m - 1} = 2019$ ， $a_{m} = 3$ ，其中 $m \in N^{*}$ ，则 $m =$ .

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10. 已知正实数 $x ， y$ 满足 $2^{x} \cdot 4^{y} = {(2^{x})}^{y}$ ，则 $x + y$ 的最小值为.

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11. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，其棱长为1，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的表面积为.

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12. 由圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0$ 外一点 $P (4 ， 6)$ 引直线 $l$ 交圆C于A、B两点，则线段AB中点M到x轴的距离的最小值为.

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13. $△ A B C$ 中， $B C = 2$ ，点O ， G分别为 $△ A B C$ 的外心、重心，若 $\vec{A O} \cdot \vec{A G} = \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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14. 设 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{matrix} \sqrt{1 - x^{2}} ， 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{\ln x}{x} + \frac{1}{2} ， x > 1 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - 2 a f (x) + a^{2} - \frac{1}{9} = 0$ 有4个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是.

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二、解答题

15. 在△ $A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，已知向量 $m = (\cos B ， \cos C)$ ， $n = (4 a - b ， c)$ ，且 $m ∥ n$ ．

(1)、求 $\cos C$ 的值；

(2)、若 $c = \sqrt{3}$ ，△ $A B C$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ，求 $a ， b$ 的值．

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16. 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CA＝CB ， AA₁＝ $\sqrt{2}$ AB ， D是AB的中点．

(1)、求证：BC₁∥平面A₁CD；

(2)、若点P在线段BB₁上，且BP＝ $\frac{1}{4}$ BB₁ ，求证：AP⊥平面A₁CD.

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17. 植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：

方案① 多边形为直角三角形 $A E B$ （ $∠ A E B = 90^{\circ}$ ），如图1所示，其中 $A E + E B = 30 m$ ；

方案② 多边形为等腰梯形 $A E F B$ （ $A B > E F$ ），如图2所示，其中 $A E = E F = B F = 10 m$ ．

请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $(1 ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ 在椭圆C上.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过坐标原点的直线交C于P ， Q两点，点P在第一象限， $P E ⊥ x$ 轴，垂足为E ，连结QE并延长交C于点G.
①求证： $△ P Q G$ 是直角三角形；

②求 $△ P Q G$ 面积的最大值.

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19. 设函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + a x (a \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、已知函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (0 < x_{1} < x_{2})$
①比较 $f (x_{1}) + f (x_{2})$ 与 $f (2)$ 的大小；

②若函数 $g (x) = | f (x) | - | f (x_{1}) |$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上有且只有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 数列 ${a_{n}}$ 的数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，若数列 ${a_{n}}$ 满足：对任意正整数n ， k ，当 $n > k$ 时， $S_{n + k} + S_{n - k} = 2 (S_{n} + S_{k})$ 总成立，则称数列 ${a_{n}}$ 是“ $D (k)$ 数列”

(1)、若 ${a_{n}}$ 是公比为2的等比数列，试判断 ${a_{n}}$ 是否为“ $D (2)$ ”数列？

(2)、若 ${a_{n}}$ 是公差为d的等差数列，且是“ $D (3)$ 数列”，求实数d的值；

(3)、若数列 ${a_{n}}$ 既是“ $D (2)$ ”，又是“ $D (3)$ ”，求证：数列 ${a_{n}}$ 为等差数列.

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21. 已知矩阵 $A = [\begin{matrix} 3 & 3 \\ c & d \end{matrix}]$ ，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为 $α_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]$ ，属于特征值1的一个特征向量为 $α_{2} = [\begin{matrix} 3 \\ - 2 \end{matrix}]$ ，求矩阵A ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (\frac{π}{3} - θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 \cos t \\ y = \sqrt{3} \sin t \end{matrix}$ （t为参数）.若直线 $l$ 与椭圆C交于A ， B两点，求线段AB的长.

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23. 已知 $a + b + c = 1$ ，证明： ${(a + 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2} + {(c + 1)}^{2} \geq \frac{16}{3}$ .

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24. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB＝ $\sqrt{2}$ ，CE＝1，CE⊥平面ABCD ．

(1)、求异面直线DF与BE所成角的余弦值；

(2)、求二面角A－DF－B的大小．

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25. 在平面直角坐标系xOy中，点P(x₀ ， y₀)在曲线y＝x²(x＞0)上．已知A(0，－1)， $P_{n} (x_{0}^{n}, y_{0}^{n})$ ，n∈N*．记直线AP_n的斜率为k_n ．

(1)、若k₁＝2，求P₁的坐标；

(2)、若k₁为偶数，求证：k_n为偶数．

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