2020届江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)高三下学期第三次调研考试数学试题

试卷更新日期：2020-06-29 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、填空题

1. 已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，则A $\cup$ B＝．

查看试题解析
2. 设复数z满足(3﹣i)z＝ $\sqrt{10}$ ，其中i为虚数单位，则z的模是．

查看试题解析
3. 如图是一个算法流程图，则输出的k的值是．

查看试题解析
4. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了20名学生，则n的值是．

查看试题解析
5. 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果, 功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方,若某医生从“三药三方”中随机选出2种,则恰好选出1药1方的概率是.

查看试题解析
6. 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y²＝4x的准线是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ (a＞0)的左准线,则实数a的值是．

查看试题解析
7. 已知 $\cos (α + β) = \frac{5}{13}$ ， $\sin β = \frac{3}{5}$ ， $α$ ， $β$ 均为锐角，则 $\sin α$ 的值是．

查看试题解析
8. 公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的（如图所示）．设石凳的体积为V₁ ，正方体的体积为V₂ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值是．

查看试题解析
9. 已知x＞1，y＞1，xy＝10，则 $\frac{1}{\lg x} + \frac{4}{\lg y}$ 的最小值是．

查看试题解析
10. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ,若 $4 S_{2}$ , $S_{4}$ , $- 2 S_{3}$ 成等差数列,且 $a_{2} + a_{3} = 2$ ,则 $a_{6}$ 的值是．

查看试题解析
11. 海伦（Heron ，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a ， b ， c计算其面积的公式S_△ABC＝ $\sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，其中 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是．

查看试题解析
12. 如图，△ABC为等边三角形，分别延长BA ， CB ， AC到点D ， E ， F ，使得AD＝BE＝CF ．若 $\vec{BA} = 2 \vec{AD}$ ，且DE＝ $\sqrt{13}$ ，则 $\vec{AF} \cdot \vec{CE}$ 的值是．

查看试题解析
13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} k (1 - \frac{2}{x}) ， x < 0 \\ x^{2} - 2 k ， x \geq 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (- x) + f (x)$ 有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是．

查看试题解析
14. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(2，﹣6)作直线交圆O：x²＋y²＝16于A ， B两点， C( $x_{0}$ ， $y_{0}$ )为弦AB的中点，则 $\sqrt{{(x_{0} + 1)}^{2} + {(y_{0} - 3)}^{2}}$ 的取值范围是．

查看试题解析

二、解答题

15. △ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ．若 $\frac{5 (\sin C - \sin B)}{a} = \frac{5 \sin A - 8 \sin B}{b + c}$ ．

(1)、求cosC的值；

(2)、若A＝C ，求sinB的值．

查看试题解析
16. 如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC⏊BC ， D ， E分别是A₁B₁ ， BC的中点．求证：

(1)、平面ACD⊥平面BCC₁B₁；

(2)、B₁E∥平面ACD ．

查看试题解析
17. 某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1cm ， 2cm的两个同心圆的圆心，等腰△ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，点O ， A在直线BC的同侧．若线段BC与劣弧 $\overset{⌢}{BC}$ 所围成的弓形面积为S₁ ， △OAB与△OAC的面积之和为S₂ ，设∠BOC＝2 $θ$ ．

(1)、当 $θ = \frac{π}{3}$ 时，求S₂﹣S₁的值；

(2)、经研究发现当S₂﹣S₁的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos $θ$ 的值．（求导参考公式：(sin2x)'＝2cos2x ， (cos2x)'＝﹣2sin2x）

查看试题解析
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过点F₂的直线交椭圆于M ， N两点．已知椭圆的短轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、当直线MN的斜率为 $\sqrt{5}$ 时，求 $| F_{1} M | + | F_{1} N |$ 的值；

(3)、若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P(t ， 0)，求实数t的取值范围．

查看试题解析
19. 已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的无穷数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{n + k}$ (n $\in N^{*}$ )，其中常数k为正整数．

(1)、设数列 ${a_{n}}$ 前n项的积 $T_{n} = 2^{\frac{n (n - 1)}{2}}$ ，当k＝2时，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${a_{n}}$ 是首项为1，公差d为整数的等差数列，且 $b_{2} - b_{1}$ ＝4，求数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前2020项的和；

(3)、若 ${b_{n}}$ 是等比数列，且对任意的n $\in N^{*}$ ， $a_{n} \cdot a_{n + 2 k} = a_{n + k}^{2}$ ，其中k≥2，试问： ${a_{n}}$ 是等比数列吗？请证明你的结论．

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = \frac{a \ln x}{x}$ ， $g (x) = \frac{x + \ln a}{e^{x}}$ ，其中e是自然对数的底数．

(1)、若函数 $f (x)$ 的极大值为 $\frac{1}{e}$ ，求实数a的值；

(2)、当a＝e时，若曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线互相垂直，求 $x_{0}$ 的值；

(3)、设函数 $h (x) = g (x) - f (x)$ ，若 $h (x)$ ＞0对任意的x $\in$ (0，1)恒成立，求实数a的取值范围．

查看试题解析
21. 已知 $m \in R$ ， $α = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ 是矩阵 $M = (\begin{matrix} 1 & m \\ 2 & 1 \end{matrix})$ 的一个特征向量，求M的逆矩阵 $M^{- 1}$ ．

查看试题解析
22. 在极坐标系中，圆 $C$ 的方程为 $ρ = 2 r \sin θ (r > 0)$ .以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} + t \\ y = 1 + \sqrt{3} t \end{array}$ （t为参数）．若直线l与圆C恒有公共点，求r的取值范围．

查看试题解析
23. 已知 $x > 1$ ， $y > 1$ ，且 $x + y = 4$ ，
求证： $\frac{y^{2}}{x - 1} + \frac{x^{2}}{y - 1} \geq 8$ ．

查看试题解析
24. 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙（其中有且只有 $1$ 把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至5扇门都进行了试开，活动结束．

(1)、设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

(2)、求恰好成功打开4扇门的概率．

查看试题解析
25. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线与x轴的交点为E．过点F的直线与抛物线相交于A、B两点， $E A$ 、 $E B$ 分别与 $y$ 轴相交N两点，当 $A B ⊥ x$ 轴时， $E A = 2$ ．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、设 $△ E A B$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ E M N$ 面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围．

查看试题解析