江苏省南通市如皋市2020届高三下学期数学三模试卷

试卷更新日期：2020-06-29 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 复数z满足 $z = \frac{i}{1 + i}$ (其中 $i$ 为虚数单位)，则z的虚部为.

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2. 已知集合 $A = {2^{m}, m}, B = {2, 4}$ ，且 $A \cap B = {2}$ ，则 $A \cup B =$ .

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3. 某党员连续七天在“学习强国” $A P P$ 上获得的学习积分如图所示，则该党员这七天在“学习强国” $A P P$ 上获得的学习积分的方差为.

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4. 由于新冠肺炎疫情，江苏紧急抽调甲､乙､丙､丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名医生，则甲､乙两人恰好分配在同一个城市的概率为.

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5. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为.

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6. 已知直线 $l : y = 2 x$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线垂直，且右焦点到直线l的距离为2，则双曲线的标准方程为.

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7. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - 2 \cos x$ ，则不等式 $f (x^{2} - x) > f (2)$ 的解集为.

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8. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 ， A C = B C = 1 ， ∠ A C B = 90 °$ ，则四棱锥 $B - A_{1} A C C_{1}$ 的体积为.

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9. 已知 $a, b, c, d$ 成等差数列， $a, b, d$ 成等比数列，且 $b + c = 5$ ，则 $a =$ .

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10. 已知 $△ A B C$ 中， $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = | \vec{A B} | = 2$ ，且 $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值为.

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11. 已知正数 $x, y, z$ 满足 $x + y + z = 1$ ，则 $\frac{1 - z}{x y} + \frac{1}{z}$ 的最小值为.

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12. 若函数 $f (x) = a \sin ω x + \cos ω x$ ( $ω > 0$ )与函数 $g (x) = 2 \cos (x + \frac{π}{3})$ 有相同的最小正周期，存在 $x_{1} \in (0 ， \frac{π}{3})$ ，且 $x_{2} \in (0 ， \frac{π}{3})$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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13. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 均为周期为2的函数， $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{- x^{2} + 2 x} ， 0 \leq x \leq 1 \\ - 4 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + 2 ， 1 < x < 2 \end{array}$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} m (x + 1) ， 0 \leq x \leq \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} ， \frac{3}{2} < x < 2 \end{array}$ ，若函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在区间 $[0 ， 5]$ 有10个零点，则实数 $m$ 的取值范围是.

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14. 已知 $A B$ 是圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ 的一条弦，其长度 $A B = \sqrt{6}$ ， $M$ 是 $A B$ 的中点，若动点 $P (t, t + 2)$ ､ $Q (m, - 2)$ ，使得四边形 $P M O Q$ 为平行四边形，则实数 $m$ 的最大值为.

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二、解答题

15. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M 、 N$ 分别为 $A_{1} C$ ､ $B C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ；

(2)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D C_{1}$ .

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16. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (0, π)$ ， $\cos β = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，且 $\tan (2 α + β) = 3$ .

(1)、求 $\tan 2 α$ 的值；

(2)、求 $α + β$ 的值.

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17. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的左､右焦点，点 $P (- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是椭圆 $E$ 上一点，且 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 4$ .若椭圆 $E$ 的内接四边形 $A B C D$ 的边 $B A ， C D$ 的延长线交于椭圆外一点S，且点S的横坐标为1，记直线 $A B ， C D$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、若 $| S A | \cdot | S B | = | S C | \cdot | S D |$ ，求 $k_{1} + k_{2}$ 的值.

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18. 杭州西溪国家湿地公园是以水为主题的公园，以湿地良好生态环境和多样化湿地景观资源为基础的生态型主题公园.欲在该公园内搭建一个平面凸四边形 $A B C D$ 的休闲､观光及科普宣教的平台，如图所示，其中 $D C = 4$ 百米， $D A = 2$ 百米， $△ A B C$ 为正三角形.建成后 $△ B C D$ 将作为人们旅游观光､休闲娱乐的区域， $△ A B D$ 将作为科普宣教湿地功能利用､弘扬湿地文化的区域.

(1)、当 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ 时，求旅游观光､休闲娱乐的区域 $△ B C D$ 的面积；

(2)、求旅游观光､休闲娱乐的区域 $△ B C D$ 的面积的最大值.

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + a x$ ，其中 $a \in R ， e$ 为自然对数的底数.

(1)、求不等式 $f (x) > (e - 1) x + 1$ 的解集；

(2)、若函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ( $x_{1} < x_{2}$ )(若 $f (m)$ 是函数 $f (x)$ 的极大值或极小值，则m为函数 $f (x)$ 的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点).
①求a的取值范围；

②证明： $h (x_{1}) + h (x_{2}) > 2$ .

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20. 若正项数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $1$ ，且当数列 ${a_{2 n - 1}}$ 是公比为2的等比数列时，则称数列 ${a_{n}}$ 为“ $S -$ 数列”.

(1)、已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{\frac{n - 1}{2}} (n \in N^{*})$ ，证明：数列 ${a_{n}}$ 为“ $S -$ 数列”；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 为“ $S -$ 数列”，且对任意 $n \in N^{*}$ ， $b_{2 n}$ 、 $b_{2 n + 1}$ 、 $b_{2 n + 2}$ 成等差数列，公差为 $d_{n}$ .
①求 $d_{n}$ 与 $d_{n + 1} (n \in N^{*})$ 间的关系；

②若数列 ${d_{n}}$ 为递增数列，求 $b_{2}$ 的取值范围.

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21. 已知矩阵 $M = [\begin{array}{l} 12 \\ 2 - 1 \end{array}]$ ，圆 $C_{1}$ 经过矩阵 $M$ 对应的变换作用下得到圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} = 5$ ，求圆 $C_{1}$ 的方程.

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22. 在极坐标系中，曲线 $C_{1}$ ： $ρ^{2} - 4 ρ \sin θ = 1$ ，曲线 $C_{2}$ ： $ρ \sin (θ - \frac{π}{3}) + 1 = 0$ ，曲线 $C_{1}, C_{2}$ 相交于 $A, B$ 两点.

(1)、求曲线 $C_{1}$ ､ $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、求弦 $A B$ 长.

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23. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上的点 $P (m ， 2)$ 到其焦点距离为3，过抛物线外一动点 $T$ 作抛物线的两条切线 $T A ， T B$ ，切点分别为 $A ， B$ ，且切点弦 $A B$ 恒过点 $M (2 ， 4)$ .

(1)、求p和m；

(2)、求证：动点T在一条定直线上运动.

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24. 已知集合 $A_{n}_{+ k}$ 中含有 $n + k$ 个元素，其中 $1 \leq k \leq n$ ， $n \in N^{*}$ ，集合 $A_{n}_{+ k}$ 的含 $n$ 个元素的子集的个数为 $a_{n + k}$ ，即集合 $A_{n}_{+ 1}$ 的含 $n$ 个元素的子集的个数为 $a_{n + 1}$ ，集合 $A_{n}_{+ 2}$ 的含n个元素的子集的个数为 $a_{n + 2}$ ，…记 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k a_{n + k}$ .

(1)、求 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ；

(2)、证明： $S_{n} = (n + 1) C_{2 n + 1}^{n + 2}$ .

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