江苏省南通市2020届高三下学期数学第三次高考全真冲刺模拟试卷

试卷更新日期：2020-06-29 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 设集合 $A = {1, x}$ ， $B = {2, 3, 4}$ ，若 $A \cap B = {4}$ ，则 $x =$ .

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2. 已知复数 $z$ 满足 $l$ （i为虚数单位），则复数 $z - i$ 的模为

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3. 对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间 $[25 ， 30)$ 的为一等品，在区间 $[20 ， 25)$ 和 $[30 ， 35)$ 的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为.

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4. 幂函数 $f (x) = x^{- 2}$ 的单调增区间为.

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5. 根据图中所示的伪代码，可知输出的结果S为．

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6. 设实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 ， \\ x + y \leq 1 ， \\ x + 2 y \geq 1 ， \end{matrix}$ 则 $3 x + 2 y$ 的最大值为

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7. 已知双曲线 ${\frac{x}{a^{2}}}^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为．

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8. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左､右顶点为A､B，焦点在y轴上的椭圆以A､B为顶点，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过A作斜率为k的直线交双曲线于另一点M，交椭圆于另一点 $N$ ，若 $\vec{A N} = \vec{N M}$ ，则k的值为.

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9. 已知函数 $f (x) = \cos x (\sin x + \cos x) - \frac{1}{2}$ ，若 $f (α) = \frac{\sqrt{2}}{6}$ ，则 $\cos (\frac{π}{4} - 2 α)$ 的值为.

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{x + 2}{| x | + 2}$ ， $x \in R$ ，则 $f (x^{2} - 2 x) < f (2 - x)$ 的解集是.

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11. 定义在 $[- 1 ， 1]$ 上的函数 $f (x) = \sin x - a x + b (a > 1)$ 的值恒非负，则a-b的最大值为.

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12. 在 $△ A B C$ 中，若 $\frac{35}{\vec{C A} \cdot \vec{A B}} = \frac{21}{\vec{A B} \cdot \vec{B C}} = \frac{15}{\vec{B C} \cdot \vec{C A}}$ ，则 $\cos C$ 的值为.

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13. 若 $Δ A B C$ 中， $A B = \sqrt{2} ， B C = 8$ ， $∠ B =$ 45°， $D$ 为 $Δ A B C$ 所在平面内一点且满足 $(\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A D}) \cdot (\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{A D}) = 4$ ，则 $A D$ 长度的最小值为

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14. 已知偶函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (2 - x)$ ，且在 $x \in [- 2, 0]$ 时， $f (x) = - x^{2} + 1$ ，若存在 $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$ 满足 $0 \leq x_{1} < x_{2} < ... < x_{n}$ ，且 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | + | f (x_{2}) - f (x_{3}) | + ... + | f (x_{n - 1}) - f (x_{n}) | = 2017$ ，则 $x_{n}$ 最小值为.

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二、解答题

15. 已知函数 $f (x) = A \sin (x + φ) (A > 0, 0 < φ < π)$ 的最小值是－2，其图象经过点 $M (\frac{π}{3}, 1)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $f (α) = \frac{8}{5}$ ， $f (β) = \frac{24}{13}$ ，求 $f (α - β)$ 的值．

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $A D / / B C$ ， $A D = 2 B C$ ， $A B ⊥ P A$ .

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若E为 $P D$ 的中点，求证： $C E / /$ 平面 $P A B$ .

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17. 有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点 $\sqrt{2}$ 百米的D点有一用于灌溉的水龙头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A，B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA，OB，其中小路的宽度忽略不计．

(1)、若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；

(2)、若要在△ABO区域内（含边界）规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．（结果保留根号和π）

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18. 如图，点 $A ， B ， F$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右顶点和右焦点，过点F的直线交椭圆C于点 $M ， N$ .

(1)、若 $A F = 3$ ，点F与椭圆 $C$ 左准线的距离为5，求椭圆C的方程；

(2)、已知直线 $B N$ 的斜率是直线MA斜率的 $2$ 倍.
①求椭圆C的离心率；

②若椭圆C的焦距为2，求 $△ A M N$ 面积的最大值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = a (a > 0)$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，设 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、若 $a_{2} = a + 1$ ， $a_{3} = 2 a_{2}$ ，且数列 ${b_{n}}$ 是公差为 $3$ 的等差数列，求 $S_{2 n}$ ；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，满足 $T_{n} = n^{2}$ .
①求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

②若对 $\forall n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2$ ，不等式 $(a_{n - 1} - 1) (a_{n + 1} - 1) \geq 2 (1 - n)$ 恒成立，求a的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{k} \ln x ， k \in N^{*}$ ， $g (x) = c x - 1 ， c \in R$ ．

(1)、当 $k = 1$ 时，
①若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = g (x)$ 相切，求c的值；

②若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = g (x)$ 有公共点，求c的取值范围．

(2)、当 $k \geq 2$ 时，不等式 $f (x) \geq a x^{2} + b x \geq g (x)$ 对于任意正实数x恒成立，当c取得最大值时，求a，b的值．

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21. 已知，点A在变换 $T$ ： $[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] \to [\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x + 2 y \\ y \end{matrix}]$ 作用后，再绕原点逆时针旋转 $90^{\circ}$ ，得到点B．若点B的坐标为 $(- 3 ， 4)$ ，求点A的坐标．

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22. 在极坐标系中，设P为曲线C： $ρ = 2$ 上任意一点，求点 $P$ 到直线 $l$ ： $ρ \sin (θ - \frac{π}{3}) = 3$ 的最大距离.

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23. 已知正数 $a, b, c$ 满足 $2 a + 3 b + 6 c = 2$ ，求 $\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c}$ 的最小值．

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24. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B ⊥ A C$ ， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $A A_{1} = 3$ .D是线段 $B C$ 的中点.

(1)、求直线 $D B_{1}$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值；

(2)、求二面角 $B_{1} - A_{1} D - C_{1}$ 的大小的余弦值.

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25.

(1)、求证： $k C_{n - k}^{k} = (n - k) C_{n - k - 1}^{k - 1}$ ；

(2)、求证： $\sum_{n = 0}^{1008} \frac{{(- 1)}^{n}}{2017 - n} C_{2017 - n}^{n} = \frac{1}{2017}$ .

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