江苏省南通市2020届高三下学期数学5月模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-06-29 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {1, 2, 3, 4}$ ， $B = {x | \log_{2} (x - 1) < 2}$ ，则 $A \cap B =$ ．

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2. 设复数z=（2+i）²（i为虚数单位），则z的共轭复数为．

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3. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线 $2 x - y - 1 = 0$ 上方的概率为.

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4. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为.

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5. 执行如下的程序框图，若 $p = 14$ ，则输出的n的值为.

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6. 函数 $y = \log_{2} (3 - 2 x - x^{2})$ 的值域为.

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7. 在等差数列{a_n}中，若a₃＋a₅＋a₇＋a₉＋a₁₁＝100，则3a₉－a₁₃的值为．

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8. 现用一半径为 $10 c m$ ，面积为 $80 π c m^{2}$ 的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 $c m^{3}$ .

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9. 已知 $α ， β \in (0 ， π)$ ，且 $\tan (α - β) = \frac{1}{2}$ ， $\tan β = - \frac{1}{5}$ ，则 $\tan α$ 的值为．

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10. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x + y - 4 \leq 0 \\ 2 x - y + 1 \geq 0 \\ x + 4 y - 4 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = | x | + | y - 3 |$ 的取值范围是．

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11. 若函数 $f (x) = a \sin (x + \frac{π}{6}) + \sqrt{3} \sin (x - \frac{π}{3})$ 是偶函数，则实数a的值为

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12. 在 $△ A B C$ 中， $\cos A = 2 \sin B \sin C$ ， $\tan B + \tan C = - 2$ ，则 $\tan A$ 的值为.

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{e^{x}} + m x^{2} ， x < 0 ， \\ e^{x} + m x^{2} ， x > 0 \end{array}$ ，若函数 $f (x)$ 有四个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围是.

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14. 已知 $θ \in [0 ， 2 π)$ ，若关于 $k$ 的不等式 $\sqrt{\sin θ} - \sqrt{\cos θ} \leq k (\sin^{3} θ - \cos^{3} θ)$ 在 $(- \infty ， - 2]$ 上恒成立，则 $θ$ 的取值范围为.

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二、解答题

15. 已知 $\sin θ + \cos θ = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ， $θ \in (- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4})$ ．

(1)、求 $θ$ 的值；

(2)、设函数 $f (x) = \sin^{2} x - \sin^{2} (x + θ)$ ， $x \in R$ ，求函数 $f (x)$ 的单调增区间．

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $C D / / A B$ ， $A B = 2 C D$ ， $A C$ 交 $B D$ 于 $O$ ，锐角 $△ P A D$ 所在平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A ⊥ B D$ ，点 $Q$ 在侧棱 $P C$ 上，且 $P Q = 2 Q C$ .

(1)、求证： $P A / /$ 平面 $Q B D$ ；

(2)、求证： $B D ⊥ A D$ .

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17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l$ ： $4 x + 3 y - 20 = 0$ . $A (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ 为圆O内一点，弦 $M N$ 过点A，过点O作 $M N$ 的垂线交l于点P.

(1)、若 $M N / / l$ ，求 $△ P M N$ 的面积；

(2)、判断直线 $P M$ 与圆O的位置关系，并证明.

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18. 如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面.问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？

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19. 设 $S_{n}$ 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $S_{n} = (a n + b) (a_{1} + a_{n}) + c$ （ $\tan B = - \tan (A + C)$ 为常数）．

(1)、当 $a = 0 ， b = \frac{3}{2} ， c = - 2$ 时，求 $S_{n}$ ；

(2)、当 $a = \frac{1}{2} ， b = 0 ， c = 0$ 时，
（ⅰ）求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列；

（ⅱ）若对任意 $a$ ，必存在 $p \in N^{*}$ 使得 $a_{p} = a_{m} + a_{n}$ ，已知 $a_{2} - a_{1} = 1$ ，且 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{S_{i}} \in [\frac{1}{2} ， \frac{11}{9} ）$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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20. 若实数 $x_{0}$ 满足 $p (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x = x_{0}$ 为函数 $p (x)$ 的不动点．

(1)、求函数 $f (x) = \ln x + 1$ 的不动点；

(2)、设函数 $g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 3$ ，其中 $a ， b ， c$ 为实数．
① 若 $a = 0$ 时，存在一个实数 $x_{0} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，使得 $x = x_{0}$ 既是 $g (x)$ 的不动点，又是 $g^{'} (x)$ 的不动点（ $g^{'} (x)$ 是函数 $g (x)$ 的导函数），求实数 $b$ 的取值范围；

② 令 $h (x) = g' (x) (a \neq 0)$ ，若存在实数 $m$ ，使 $m$ ， $h (m)$ ， $h (h (m))$ ， $h (h (h (m)))$ 成各项都为正数的等比数列，求证：函数 $h (x)$ 存在不动点．

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21. 已知矩阵 $M = [\begin{matrix} a & - 1 \\ - 2 & b \end{matrix}]$ ，对应的变换把点 $(2, 1)$ 变成点 $(7, - 1)$ ．

(1)、求a，b的特征值；

(2)、求矩阵M的特征值．

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22. 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是 ${\begin{matrix} x = t \\ y = t - 3 \end{matrix}$ (t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l被圆C截得的弦长．

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23. 对任意实数 $t$ ，不等式 $| t - 3 | + | 2 t + 1 | \geq | 2 x - 1 | + | x + 2 |$ 恒成立，求实数x的取值范围.

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24. 已知 ${(1 + x)}^{2 n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2 n} x^{2 n}$ .

(1)、求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2 n}$ 的值；

(2)、求 $\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} - \frac{1}{a_{4}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{2 n - 1}} - \frac{1}{a_{2 n}}$ 的值.

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25. 甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢.此时，两人正在游戏，且知甲再赢 $m$ (常数 $m > 1$ )次就获胜，而乙要再赢 $n$ (常数 $n > m$ )次才获胜，其中一人获胜游戏就结束.设再进行 $ξ$ 次抛币，游戏结束.

(1)、若 $m = 2$ ， $n = 3$ ，求概率 $P (ξ = 4)$ ；

(2)、若 $n = m + 2$ ，求概率 $P (ξ = m + k) (k = 2, 3, \cdot \cdot \cdot, m + 1)$ 的最大值(用 $m$ 表示).

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