江苏省南通市2020届高三下学期数学4月高考模拟试卷

试卷更新日期：2020-06-29 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 设复数z满足 $(z + i) (2 + i) = 5$ （i为虚数单位），则 $z =$ .

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2. 设全集 $U = {1, 2, 3, 4}$ ，集合 $A = {1, 3}$ ， $B = {2, 3}$ ，则 $B \cap ∁_{U} A =$ .

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3. 箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为.

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4. 某学校从高三年级共 $800$ 名男生中随机抽取 $50$ 名测量身高．据测量被测学生身高全部介于 $155 c m$ 和 $195 c m$ 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 $[155 ， 160)$ [、第二组 $[160 ， 165)$ 、…、第八组 $[190 ， 195]$ ．按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高 $180 c m$ 以上（含 $180 c m$ ）的人数为．

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5. 阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是.

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $C$ 的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线 $C$ 经过点 $P (1, 3)$ ，则其焦点到准线的距离为.

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7. 抛物线y²=4x的焦点到双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9}$ =1渐近线的距离为．

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8. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为2，锐角为 $60 °$ 的菱形，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = 3$ ，若点M是 $B C$ 的中点，则三棱锥 $M - P A D$ 的体积为.

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9. 以抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为焦点，以直线 $y = \pm x$ 为渐近线的双曲线标准方程为.

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10. 一个圆锥的侧面积等于底面面积的 $3$ 倍，若圆锥底面半径为 cm，则圆锥的体积是cm³.

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11. 设 $f (x)$ 是R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + \ln \frac{x}{4}$ ，记 $a_{n} = f (n - 5)$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前8项和为．

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12. 过曲线 $y = x - \frac{1}{x} (x > 0)$ 上一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 处的切线分别与x轴，y轴交于点A、B，O是坐标原点，若 $Δ O A B$ 的面积为 $\frac{1}{3}$ ，则 $x_{0} =$ ．

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13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ， $O_{1} : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4$ ，动点 $P$ 在直线 $x + \sqrt{3} y - b = 0$ 上，过P点分别作圆 $O, O_{1}$ 的切线，切点分别为 $A, B$ ，若满足 $P B = 2 P A$ 的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是．

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \frac{1}{2} (| x - a | + | x - 2 a | - 3 | a |)$ ．若集合 ${x | f (x - 1) - f (x) > 0 ， x \in R} = \emptyset$ ，则实数a的取值范围为．

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二、解答题

15. 在 $△ A B C$ 中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\vec{m} = (\sin B - \sin C, \sin C - \sin A)$ ， $\vec{n} = (\sin B + \sin C, \sin A)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = c \cdot \cos A$ ， $△ A B C$ 的外接圆的半径为1，求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E、F分别是 $A B$ 、 $B C$ 的中点， $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 交于点O．

(1)、求证： $A_{1}$ 、 $C_{1}$ 、F、E四点共面；

(2)、若底面 $A B C D$ 是菱形，且 $O D ⊥ A_{1} E$ ，求证： $O D ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} F E$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 1$ .

(1)、若函数 $g (x) = \log_{a} [f (x) + a]$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)、当 $x > 0$ 时，恒有不等式 $\frac{f (x)}{x} > \ln x$ 成立，求实数a的取值范围.

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18. 如图，墙上有一壁画，最高点 $A$ 离地面4米，最低点 $B$ 离地面2米，观察者从距离墙 $x (x > 1)$ 米，离地面高 $a (1 \leq a \leq 2)$ 米的 $C$ 处观赏该壁画，设观赏视角 $∠ A C B = θ .$

(1)、若 $a = 1.5 ，$ 问：观察者离墙多远时，视角 $θ$ 最大？

(2)、若 $\tan θ = \frac{1}{2} ，$ 当 $a$ 变化时，求x的取值范围.

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率是e，定义直线 $y = \pm \frac{b}{e}$ 为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为 $y = \pm 2 \sqrt{3}$ ，长轴长为4.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O： $x^{2} + y^{2} = 3$ 的切线l，过点O且垂直于 $O P$ 的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的奇数项是公差为 $d_{1}$ 的等差数列，偶数项是公差为 $d_{2}$ 的等差数列， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 1, a_{2} = 2.$

(1)、若 $S_{5} = 16, a_{4} = a_{5}$ ，求 $a_{10}$ ；

(2)、已知 $S_{15} = 15 a_{8}$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ ，有 $a_{n} < a_{n + 1}$ 恒成立，求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列；

(3)、若 $d_{1} = 3 d_{2} (d_{1} \neq 0)$ ，且存在正整数 $m, n (m \neq n)$ ，使得 $a_{m} = a_{n}$ ，求当 $d_{1}$ 最大时，数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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21. 求矩阵 $[\begin{array}{l} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array}]$ 的特征值及对应的特征向量.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C： ${\begin{array}{l} x = \sqrt{6} \cos α \\ y = \sqrt{2} \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ (\cos θ + \sqrt{3} \sin θ) + 4 = 0$ ，求曲线C上的点到直线l的最大距离.

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23. 设x、y均为正数，且 $x > y$ ，求证： $2 x + \frac{1}{x^{2} - 2 x y + y^{2}} \geq 2 y + 3$ .

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24. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ， $A A_{1} = 4$ .

(1)、设 $\vec{A D} = λ \vec{A B}$ ，异面直线 $A C_{1}$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{9 \sqrt{10}}{50}$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、若点D是 $A B$ 的中点，求二面角 $D - C B_{1} - B$ 的余弦值.

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25. 设 $f (x, n) = {(1 + x)}^{n}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求 $f (x, 6)$ 的展开式中系数最大的项；

(2)、 $n \in N^{*}$ 时，化简 $C_{n}^{0} 4^{n - 1} + C_{n}^{1} 4^{n - 2} + C_{n}^{2} 4^{n - 3} + \dots + C_{n}^{n - 1} 4^{0} + C_{n}^{n} 4^{- 1}$ ；

(3)、求证： $C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} + 3 C_{n}^{3} + \dots + n C_{n}^{n} = n \times 2^{n - 1}$ .

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