江苏省南京市十校2020届高三下学期数学5月调研试卷

试卷更新日期：2020-06-29 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x < 0}, B = {x | x < 1}$ ，则 $A \cup B =$ .

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2. 已知复数 $z = (a + 2 i) (1 + i)$ 的实部为0，其中 $i$ 为虚数单位，a为实数，则 $\bar{z} =$ .

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3. 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为．

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4. 运行如图所示的伪代码，则输出的S的值为.

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5. 某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为.

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6. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} = 2 S_{10}$ ，则 $\frac{S_{5} + 4 S_{15}}{S_{10} - S_{5}} =$ .

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7. 函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，若 $f (1) = 3$ ，则 $f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (50) =$ .

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8. 将函数 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{3} - x)$ 图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则 $φ$ 的最小值为.

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9. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且与x轴垂直的直线与双曲线交于 $A ， B$ 两点，若 $| F_{1} F_{2} | = \frac{\sqrt{3}}{2} | A B |$ ，则双曲线的渐近线方程为.

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10. 如图，五边形 $A B C D E$ 由两部分组成， $△ A B E$ 是以角B为直角的直角三角形，四边形 $B C D E$ 为正方形，现将该图形以 $A C$ 为轴旋转一周，构成一个新的几何体.若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为.

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11. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B = 6$ ， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $\vec{D E} = \frac{1}{2} \vec{E C}$ ， $\vec{B F} = \frac{1}{2} \vec{F C}$ .若 $\vec{F G} = 2 \vec{G E}$ ，则 $\vec{A G} \cdot \vec{B D} =$ .

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12. 已知在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .若 $a = 3 b \cos C$ ，则 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan C}$ 的最小值为.

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13. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 点 $A (2 ， 2)$ ，直线 $l$ 与圆O交于 $P ， Q$ 两点，点E在直线l上且满足 $\vec{P Q} = 2 \vec{Q E}$ .若 $A E^{2} + 2 A P^{2} = 48$ ，则弦 $P Q$ 中点M的横坐标的取值范围为.

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二、解答题

14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b \sin A = a \sin (\frac{2 π}{3} - B)$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $c = 3$ ，求 $\sin (A - C)$ 的值.

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15. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 是矩形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ， $M$ 是棱 $C C_{1}$ 上的一点.

(1)、求证： $B C ⊥ A M$ ；

(2)、若 $N$ 是 $A B$ 的中点，且 $C N //$ 平面 $A B_{1} M$ ，求证： $M$ 是棱 $C C_{1}$ 中点.

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16. 疫情期间，某小区超市平面图如图所示，由矩形 $O A B C$ 与扇形 $O C D$ 组成， $O A = 30$ 米， $A B = 50$ 米， $∠ C O D = \frac{π}{6}$ ，经营者决定在O点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角 $∠ E O F = \frac{π}{3}$ ，摄像头监控区域为图中阴影部分，要求点E在弧 $C D$ 上，点F在线段 $A B$ 上.设 $∠ F O C = θ$ .

(1)、求该监控摄像头所能监控到的区域面积S关于 $θ$ 的函数关系式，并求出 $\tan θ$ 的取值范围；

(2)、求监控区域面积 $S$ 最大时，角 $θ$ 的正切值.

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17. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，点 $A ， B$ 为椭圆的左、右顶点，点 $P$ 是椭圆上一点，且直线 $P F_{1}$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ， $| P F_{1} | = 2$ ，已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设 $M ， N$ 为椭圆上异于 $A ， B$ 的两点，若直线 $B N$ 的斜率等于直线 $A M$ 斜率的 $2$ 倍，求四边形 $A M B N$ 面积的最大值.

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18. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c \in R)$ ， $g (x) = e^{x}$ .

(1)、若 $a = b = 1$ ， $c = - 1$ ，求函数 $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若 $a = 1$ ，且 $x = 1$ 是函数 $m (x) = f (x) g (x)$ 的一个极值点，确定 $m (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $b = 2 a$ ， $c = 2$ 且对任意 $x \geq 0$ ， $\frac{f (x)}{g (x)} \leq 2 x + 2$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 设数列 ${a_{n}}$ （任意项都不为零）的前n项和为 $S_{n}$ ，首项为1，对于任意 $n \in N^{*}$ ，满足 $S_{n} = \frac{a_{n} \cdot a_{n + 1}}{2}$ .

(1)、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、是否存在 $k ， m ， n \in N^{*} (k < m < n)$ 使得 $a_{k} ， a_{m} ， a_{n}$ 成等比数列，且 $16 a_{k} ， a_{m}^{4} ， a_{n}^{2}$ 成等差数列？若存在，试求 $k + m + n$ 的值；若不存在，请说明理由；

(3)、设数列 ${b}$ ， $b_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， n = 2 k - 1 ， k \in N^{*} \\ q^{n - 1} ， n = 2 k ， k \in N^{*} (q > 0) \end{array}$ ，若由 ${b_{n}}$ 的前r项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数 $r$ 的最大值.

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20. 求椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 在矩阵 $A = [\begin{array}{l} \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array}]$ 对应的变换作用下所得曲线 $C^{'}$ 的方程.

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21. 在极坐标系中,已知圆 $C$ 经过点 $P (\sqrt{2}, \frac{π}{4})$ ，圆心为直线 $ρ \sin (θ + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.

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22. 已知正数 $a, b, c$ 满足 $a b c = 1$ ，求 $(a + 2) (b + 2) (c + 2)$ 的最小值.

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23. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是菱形， $A A_{1} = 4$ ， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， E， $M ， N$ 分别是 $B C$ ， $B B_{1}$ ， $A_{1} D$ 的中点.

(1)、求异面直线 $A_{1} M$ 与 $C_{1} E$ 所成角的余弦值；

(2)、求二面角 $A - M A_{1} - N$ 的平面角的正弦值.

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24. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = m + \frac{C_{n + 1}^{1}}{2} + \frac{C_{n + 2}^{2}}{2^{2}} + \frac{C_{n + 3}^{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{C_{n + n}^{n}}{2^{n}}, n \in N^{*}$ ，其中m为常数， $a_{2} = 4$ .

(1)、求 $m, a_{1}$ 的值

(2)、猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，并证明.

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