江苏省南京市2020届高三下学期数学5月模拟考试试卷

试卷更新日期：2020-06-29 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 设集合M＝{m|﹣3＜m＜2，m∈Z}，N＝R，则M∩N＝．

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2. 复数z $= \frac{i}{1 + i}$ 复平面上对应的点位于第象限．

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3. 某次测验，将20名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90，6；80，4．则这20名学生成绩的方差为．

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4. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为．

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5. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为 $x, y$ ，则 $\frac{x}{y}$ 为整数的概率是．

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6. 函数f（x）=（x﹣3）e^x的单调递增区间是

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m - 3} + \frac{y^{2}}{m + 5} = 1$ 的离心率为 $\frac{4}{3}$ ，那么此双曲线的准线方程为．

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8. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ ，底面边长为2，则侧棱 $P A$ 的长为．

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9. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (0 < ω < 2) ，$ 若 $f (\frac{2 π}{3}) = 1 ，$ 则函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为．

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10. 已知等差数列{a_n}满足：a₁＝﹣8，a₂＝﹣6．若将a₁ ， a₄ ， a₅都加上同一个数m，所得的三个数依次成等比数列，则m的值为．

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11. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} sin (π x + \frac{π}{3})$ 和 $g (x) = sin (\frac{π}{6} - π x)$ 的图象在y轴左、右两侧靠近 y轴的交点分别为 M 、 N ，已知 O 为原点，则 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} =$ ．

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12. 设f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b∈R），若f（x）的最大值为 $\sqrt{5}$ ，则a+b的取值范围为．

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13. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，且cos2B+cosB+cos（A﹣C）＝1，则a+2c的最小值为．

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14. 已知正实数x，y满足 $x + \frac{2}{x} + 3 y + \frac{4}{y} = 10$ ，则xy的取值范围为．

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二、解答题

15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (s i n A, a), \vec{n} = (1, s i n B)$

(1)、当 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 s i n A$ 时，求b的值；

(2)、当 $\vec{m}$ ∥ $\vec{n}$ 时，且 $c o s C = \frac{1}{2} a$ ，求 $t a n A \cdot t a n B$ 的值．

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16. 如图，四棱锥A﹣BCDE中，AB、BC、BE两两垂直且AB＝BC＝BE，DE∥BC，DE＝2BC，F是AE的中点．

(1)、求证：BF∥面ACD；

(2)、求证：面ADE⊥面ACD．

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17. 为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流，已知穿城公路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向（即 $∠ A O B = \frac{3 π}{4}$ ）．现准备修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B．假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为10km．

(1)、求两站点A，B之间距离的最小值；

(2)、公路MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群C，为保护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群C和市中心O之间设计出入口A，才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）？

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18. 已知点M是圆C：（x+1）²+y²＝8上的动点，定点D（1，0），点P在直线DM上，点N在直线CM上，且满足 $\vec{D M} =$ 2 $\vec{D P}$ ， $\vec{N P}$ • $\vec{D M} =$ 0，动点N的轨迹为曲线E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．

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19. 设首项为a₁的正项数列{a_n}的前n项和为S_n ， q为非零常数，已知对任意正整数n，m，S_n+m＝S_m+q^mS_n总成立．

(1)、求证：数列{a_n}是等比数列；

(2)、若不等的正整数m，k，h成等差数列，试比较a_m^m•a_h^h与a_k^2k的大小；

(3)、若不等的正整数m，k，h成等比数列，试比较 $a_{m}^{\frac{1}{m}} \cdot a_{h}^{\frac{1}{h}}$ 与 $a_{k}^{\frac{2}{k}}$ 的大小．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x ， g (x) = e^{x} \ln x$ （e是自然对数的底数）.

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线也是抛物线 $y^{2} = 4 (x - 1)$ 的切线，求a的值；

(2)、若对于任意 $x \in R ， f (x) > 0$ 恒成立，试确定实数a的取值范围；

(3)、当 $a = - 1$ 时，是否存在 $x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ，使曲线 $C ： y = g (x) - f (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处的切线斜率与 $f (x)$ 在 $R$ 上的最小值相等？若存在，求符合条件的 $x_{0}$ 的个数；若不存在，请说明理由.

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21. 设矩阵A= $[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}]$ ，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．

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22. 在极坐标系中，求曲线 $ρ = 2 \cos θ$ 关于直线 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ 对称的曲线的极坐标方程.

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23. 若关于x的不等式x²﹣ax+b＜0的解集为（1，2），求函数f（x）＝（a﹣1） $\sqrt{x - 3} +$ （b﹣1） $\sqrt{4 - x}$ 的最大值．

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24. 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成．

(1)、求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；

(2)、若考生乙每题正确完成的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，且每题正确完成与否互不影响．试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．

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25. 已知 ${(x + 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + \dots + a_{n} {(x - 1)}^{n} ，$ （其中 $n \in N^{*}$ ）

(1)、求 $a_{0}$ 及 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ ；

(2)、试比较 $S_{n}$ 与 $(n - 2) 2^{n} + 2 n^{2}$ 的大小，并说明理由．

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