福建省泉州市2020届高三质检理数（5月二模)试卷

试卷更新日期：2020-06-28 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - x + 1 \geq 0}$ ， $B = {x | 2 x^{2} - x - 1 \leq 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $[- 1, \frac{1}{2}]$ C、 $[- \frac{1}{2}, 1]$ D、 $[- \frac{1}{2}, + \infty)$

查看试题解析
2. $(x - 1) {(x - 2)}^{7}$ 的展开式中 $x^{6}$ 的系数为（）

A、 $14$ B、 $28$ C、 $70$ D、 $98$

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{A B} = (1, 2)$ ， $\vec{A C} = (4, - 2)$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、5 B、10 C、25 D、50

查看试题解析
4. 平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点 $M (- 3, 4)$ ，则 $\sin (π - 2 α) =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

查看试题解析
5. 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的 $\frac{3}{2}$ ，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的 $\frac{3}{4}$ ，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（）

A、“宫、商、角”的频率成等比数列 B、“宫、徵、商”的频率成等比数列 C、“商、羽、角”的频率成等比数列 D、“徵、商、羽”的频率成等比数列

查看试题解析
6. 函数 $f (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} - k x)$ 的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
7. 已知 $a = {(\sin 2)}^{2}$ ， $b = 2^{\sin 2}$ ， $c = \log_{\frac{1}{2}} (\sin 2)$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $c > b > a$

查看试题解析
8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图是等边三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）

A、 $10 π$ B、 $\frac{28}{3} π$ C、 $9 π$ D、 $\frac{25}{3} π$

查看试题解析
9. 每年的台风都对泉州地区的渔业造成较大的经济损失．某保险公司为此开发了针对渔船的险种，并将投保的渔船分为I，II两类，两类渔船的比例如图所示．经统计，2019年I，II两类渔船的台风遭损率分别为15%和5%.2020年初，在修复遭损船只的基础上，对I类渔船中的20%进一步改造．保险公司预估这些经过改造的渔船2020年的台风遭损率将降为3%，而其他渔船的台风遭损率不变．假设投保的渔船不变，则下列叙述中正确的是（）

A、2019年投保的渔船的台风遭损率为10% B、2019年所有因台风遭损的投保的渔船中，I类渔船所占的比例不超过 $80 %$ C、预估2020年I类渔船的台风遭损率会小于II类渔船的台风遭损率的两倍 D、预估2020年经过进一步改造的渔船因台风遭损的数量少于II类渔船因台风遭损的数量

查看试题解析
10. 已知双曲线E的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $M ， N$ ．点P在E的渐近线上， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ， $∠ M P N = \frac{π}{3}$ ，则E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\sqrt{13}$

查看试题解析
11. 若 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = 3 \sin ω x + 4 \cos ω x$ （ $0 \leq x \leq \frac{π}{3}$ ）的值域为 $[4 ， 5]$ ，则 $\cos (\frac{π}{3} ω)$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， - \frac{7}{25}]$ B、 $[- \frac{7}{25} ， 1]$ C、 $[\frac{7}{25} ， \frac{3}{5}]$ D、 $[\frac{7}{25} ， \frac{4}{5}]$

查看试题解析
12. 以 $A ， B ， C ， D ， E$ 为顶点的多面体中， $A C ⊥ C B$ ， $A D ⊥ D B$ ， $A E ⊥ E B$ ， $A B = 10$ ， $C D = 6$ ，则该多面体的体积的最大值为（）

A、 $30 \sqrt{3}$ B、80 C、90 D、 $50 \sqrt{3}$

查看试题解析

二、填空题

13. 在复平面中，复数 $z_{1}, z_{2}$ 对应的点分别为 $Z_{1} (1, 2), Z_{2} (2, - 1)$ ．设 $z_{1}$ 的共轭复数为 ${\bar{z}}_{1}$ ，则 ${\bar{z}}_{1} \cdot z_{2} =$ ．

查看试题解析
14. 已知点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，过A的直线与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 相交于 $P ， Q$ 两点．若P为 $A Q$ 中点，则 $\frac{| P B |}{| Q B |} =$ ．

查看试题解析
15. $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $a \sin B = \sqrt{3} b \cos A ， a = 3$ ．若点D在边 $BC$ 上，且 $B D = 2 D C$ ，则AD的最大值是．

查看试题解析
16. 若存在过点 $(1 ， \frac{a}{2})$ 的直线 $l$ 与函数 $f (x) = x + e^{x}$ ， $g (x) = x - e^{a - x}$ 的图象都相切，则 $a =$ ．

查看试题解析

三、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 2, 2 S_{n} = (n + 1) a_{n}$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{S_{n + 1} \cdot S_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{1}{2}$ ．

查看试题解析
18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为菱形， $∠ B A D = 120^{°}$ ， $A B = 2$ ．平面 $P C D$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P C = P D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $P D$ 的中点．

(1)、求证： $E F$ //平面 $P A B$ ；

(2)、若直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45^{°}$ ，求直线 $D E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

查看试题解析
19. 已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 3$ ，直线 $P A$ 与圆O相切于点A，直线 $P B$ 垂直y轴于点B，且 $| P B | = 2 | P A |$ ．

(1)、求点P的轨迹E的方程；

(2)、直线 $P A$ 与E相交于 $P, Q$ 两点，若 $△ P O A$ 的面积是 $△ Q O A$ 的面积的两倍，求直线 $P A$ 的方程．

查看试题解析

20. “业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据．某公司为量化考核员工绩效等级设计了A，B两套测试方案，现各抽取100名员工参加A，B两套测试方案的预测试，统计成绩（满分100分），得到如下频率分布表．

成绩频率	$[25 ， 35)$	$[35 ， 45)$	$[45 ， 55)$	$[55 ， 65)$	$[65 ， 75)$	$[75 ， 85)$	$[85 ， 95]$
方案A	0.02	0.11	0.22	0.30	0.24	0.08	0.03
方案B	0.16	0.18	0.34	0.10	0.10	0.08	0.04

(1)、从预测试成绩在

[25 ， 35) \cup [85 ， 95]

的员工中随机抽取6人，记参加方案A的人数为X，求X的最有可能的取值；

(2)、由于方案A的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案A进行业务技能测试．测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩

x

与绩效等级优秀率

y

，如下表所示：

$x$	32	41	54	68	74	80	92
$y$	0.28	0.34	0.44	0.58	0.66	0.74	0.94

根据数据绘制散点图，初步判断，选用 $y = λ e^{μ x}$ 作为回归方程．令 $z = \ln y$ ，经计算得 $\bar{z} = - 0.642$ ， $\frac{\sum_{i = 1}^{7} x_{i} z_{i} - n \bar{x} \bar{z}}{\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \approx 0.02$ ， $\ln 0.15 \approx - 1.9$ ．

（ⅰ）若某部门测试的平均成绩为60，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？

（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩 $x ~ N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ，求某个部门绩效等级优秀率不低于 $0.78$ 的概率为多少？

参考公式与数据：⑴ $\ln 3.32 \approx 1.2$ ， $\ln 5.2 \approx 1.66$ ， $s \approx 20$ ．

⑵线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

⑶若随机变量，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ ．

查看试题解析

21. 已知函数 $f (x) = (\frac{1}{2} x^{2} - a x) l n x - \frac{1}{4} x^{2} + a x$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 单调递增，求a的值；

(2)、当 $\frac{1}{4} < a < \frac{3}{4} e$ 时，设函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ 的最小值为 $h (a)$ ，求函数 $h (a)$ 的值域．

查看试题解析
22. 直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C_{1} ：$ ${\begin{matrix} x = 2 \cos α ， \\ y = 2 \sin α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数）上的每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到曲线 $C_{2}$ ．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{4}{2 \sin θ - \cos θ}$ ．

(1)、求 $C_{2}$ 的普通方程和l的直角坐标方程；

(2)、设l与两坐标轴分别相交于 $A ， B$ 两点，点Q在 $C_{2}$ 上，求 $△ Q A B$ 的面积的最大值．

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = | x + 2 | + | x - 3 | + m x$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求不等式 $f (x) \leq 8$ 的解集；

(2)、当 $0 < m \leq 1$ 时，证明： $f (x) \geq 3$ ．

查看试题解析