福建省莆田市2020届高三下学期理数第二次检测（二模)试卷

试卷更新日期：2020-06-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = 3 x + 1 ， x < 2} ， B = {x | - 2 \leq x \leq 7}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x < 2}$ B、 ${x | x ⩽ 7}$ C、 ${x | 0 ⩽ x < 7}$ D、 ${x | - 2 \leq x < 7}$

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2. 若复数z满足 $(z + 1) (1 + i) = 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 《周易》集中华文明的精髓，是华夏智慧的结晶.该书认为天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，例如每个人的姓名，姓氏后面的名字中的字的五行属性都有具体的含义，如姓名“莫林波”，“林”属木，“波”属水.若一个人的姓氏后为两个字的名字，且每个字为哪种属性都是等可能的，则这两个字恰好五行属性不同的概率为（）

A、 $\frac{2}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2) ， \vec{b} = (2 ， m)$ ，若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{b}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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5. 已知 $a = 2^{- 2.5} ， b = \log_{2} 3 ， c = 2^{\frac{1}{2}}$ ，则这三个数由小到大的顺序为（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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6. 某省新高考改革，实行“ $3 + 1 + 2$ ”选科，语数外三科必选，物理与历史两科中选一科，再从生物、政治、地理、化学四科中任选两科.该省某学校的甲、乙、丙三名同学都选择了历史，从生物、政治、地理、化学四科中选两科时，甲选的两科中一科是政治，乙选的两科中一科是地理，且两人所选的两科均与丙选的完全不相同，则甲选的另一科是（）

A、地理 B、化学 C、生物 D、不清楚

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7. 函数 $f (x) = x e^{1 - | x |}$ 的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 $\frac{99}{100}$ ，则判断框里的条件可以为（）

A、 $n > 11 ?$ B、 $n > 10 ?$ C、 $n > 9 ?$ D、 $n > 8 ?$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $(n - 1) S_{n} - n S_{n - 1} + n^{2} - n = 0 (n ⩾ 2) ， a_{1} = 2019$ ，则 $S_{2020} =$ （）

A、0 B、1 C、2019 D、2020

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10. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，把 $f (x)$ 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，整体再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 B、 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 中心对称 C、 $g (x)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上单调递增 D、 $g (x)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上的最大值是2

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11. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过双曲线C上任意一点P分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为 $A ， B ，$ $| P A | \cdot | P B | = \frac{8}{9}$ ， $| F_{1} F_{2} |$ 等于 ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{3}$ 展开式的常数项，则双曲线C的离心率为（）

A、3 B、3或 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $2 \sqrt{2}$ 或 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{3 x^{2} - 1}{x^{3}}$ ，若 $g (x) = f^{2} (x) - (a - 3) f (x) - 3 a$ 有四个不同的零点，其中恰有一个为负，三个为正，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ B、 $(- 1 ， e)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(- 2 ， 0)$

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二、填空题

13. 经统计，某网店某款热销商品在连续270天中每天的好评率有90天为 $90 %$ ，有80天为 $95 %$ ，有100天为 $86 %$ .则该店该款商品每天的平均好评率的估计值为.

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14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1}, a_{2} + 2, a_{3}$ 成等差数列， $a_{1} - a_{2} = 8$ ，则 ${a_{n}}$ 的公比 $q =$ .

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点P为椭圆上一点，满足 $(\vec{O P} + \vec{O F_{2}}) \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ （点 $O$ 为坐标原点）， $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为1，且其外接圆的面积为 $3 π$ ，则该椭圆的标准方程为.

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16. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为矩形， $A C = 4, P A = 2 \sqrt{3}$ .当四棱锥 $P - A B C D$ 的体积最大时，其外接球球心O到平面 $P B D$ 的距离为.

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a = 2 ， 2 c \cos A = 2 b - a$ .

(1)、求C；

(2)、如图，若点D在边AC上， $A D = D B ， D E ⊥ A B$ ，E为垂足，且 $D E = \sqrt{2}$ ，求BD的长.

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18. 为了解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏览购物网站时间不低于40分钟的网民称为“网购达人”，已知“网购达人”中女性有10人.

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、根据已知条件完成下面的

2 \times 2

列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关；

	非网购达人	网购达人	总计
男
女		10
总计

(2)、将上述调査所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取3名，记被抽取的3名网民中的“网购达人”的人数为X，求X的分布列、数学期望

E (X)

和方差

D (X)

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $A C ⊥ B C$ ，E为PD的中点， $∠ A B C = ∠ P C D = \frac{π}{3}$ ， $B C = 1 ， P C = 3 ， P B = \sqrt{10}$ .

(1)、求证： $P B / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求二面角 $A - D E - C$ 的余弦值.

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20. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，过 $Q (0 ， 1)$ 的直线 $l$ 与抛物线C交于 $A ， B$ 两点，点A在第一象限，抛物线C在 $A ， B$ 两点处的切线相互垂直.

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、若点P为抛物线C上异于 $A ， B$ 的点，直线 $A P ， B P$ 均不与 $x$ 轴平行，且直线AP和BP交抛物线C的准线分别于 $M ， N$ 两点， $\vec{A Q} = 4 \vec{Q B}$ .
（i）求直线 $A B$ 的斜率；

（ⅱ）求 $| M N |$ 的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ .

(1)、若 $f (x) ⩾ 0$ 恒成立，求a的值；

(2)、在（1）的条件下，若 $x ⩾ 0$ ，证明： $e^{x} - a x - 1 ⩾ \frac{1}{2} x^{2}$ ；

(3)、若 $x > 0$ ，证明： $\frac{\ln (x + 1)}{x} > \frac{x}{e^{x} - 1}$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \\ y = - 1 + t \end{array}$ （t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{12}{3 + \sin^{2} θ}$ .

(1)、写出曲线 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若点P的直角坐标为 $(0, - 1)$ ，曲线 $C_{1}, C_{2}$ 交于 $A, B$ 两点，求 $| P A | + | P B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 3 - | x - 3 |$ ；

(2)、若 $f (x) + | x - 3 |$ 的最小值为m，且 $a + b + c = m$ ，证明： $a^{2} + b^{2} + c^{2} ⩾ \frac{1}{3}$ .

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