浙江省宁波市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-06-28 类型：中考真卷

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一、选择题(每小题4分，共40分)

1. -3的相反数为（）

A、-3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{3}$ D、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$

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3. 2019年宁波舟山港货物吞吐量为1 120 000 000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位.数1 120 000 000用科学记数法表示为（）

A、 $1.12 \times 10^{8}$ B、 $1.12 \times 10^{9}$ C、 $0.112 \times 10^{9}$ D、 $0.112 \times 10^{10}$

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4. 如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 二次根式 $\sqrt{x - 2}$ 中字母x的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \neq 2$ C、 $x \geq 2$ D、 $x \leq 2$

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7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连结DE，F为DE中点，连结BF.若AC=8，BC=6，则BF的长为（）

A、2 B、2.5 C、3 D、4

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8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺?如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）

A、 ${\begin{cases} y = x + 4.5 \\ 0.5 y = x - 1 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} y = x + 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} y = x - 4.5 \\ 0.5 y = x + 1 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} y = x - 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{cases}$

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9. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ (a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $4 a c - b^{2} > 0$ C、 $c - a > 0$ D、当 $x = - n^{2} - 2$ (n为实数)时， $y \geq c$

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10. △BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）

A、△ABC的周长 B、△AFH的周长 C、四边形FBGH的周长 D、四边形ADEC的周长

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二、填空题(每小题5分，共30分)

11. 实数8的立方根是．

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12. 分解因式： $2 a^{2} - 18 =$ .

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13. 今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数 $\bar{x}$ (单位：千克)及方差 $S^{2}$ (单位：千克²)如下表所示：

甲

乙

丙

$\bar{x}$

45

45

42

$S^{2}$

1.8

2.3

1.8

明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种.

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14. 如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为cm(结果保留 $π$ ).

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15. 如图，⊙O的半径OA=2，B是⊙O上的动点(不与点A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC=OA，连结OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为.

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16. 如图，经过原点O的直线与反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ (a>0)的图象交于A，D两点(点A在第一象限)，点B，C，E在反比例函数 $y = \frac{b}{x}$ (b<0)的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则 $a - b$ 的值为， $\frac{b}{a}$ 的值为.

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三、解答题(本大题有8小题，共80分)

17. 计算

(1)、计算： ${(a + 1)}^{2} + a (2 - a)$ .

(2)、解不等式： $3 x - 5 < 2 (2 + 3 x)$ .

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18. 图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边角形已涂上阴影.请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：

(1)、使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形.

(2)、使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.
(请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形)

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19. 图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB=AC=50cm， $∠ A B C = 47 °$ .

(1)、求车位锁的底盒长BC.

(2)、若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?
(参考数据： $\sin 47 ° \approx 0.73$ ， $\cos 47 ° \approx 0.68$ ， $\tan 47 ° \approx 1.07$ )

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20. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + 4 x - 3$ 图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0).

(1)、求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.

(2)、平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.

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21. 某学校开展了防疫知识的宣传教育活动.为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试(测试满分100分，得分x均为不小于60的整数)，并将测试成绩分为四个等级：基本合格(60≤x<70)，合格(70≤x<80)，良好(80≤x<90)，优秀(90≤x≤100)，制作了如下统计图(部分信息未给出).

由图中给出的信息解答下列问题：

(1)、求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图.

(2)、求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数.

(3)、这次测试成绩的中位数是什么等级?

(4)、如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人?

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22. A，B两地相距200千米.早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系.B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资.货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地.两辆货车离开各自出发地的路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示.(通话等其他时间忽略不计)

(1)、求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式.

(2)、因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米?

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23. 如图

(1)、【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B.求证： $A C^{2} = A D \cdot A B$ .

(2)、【尝试应用】
如图2，在 $▱ A B C D$ 中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A.若BF=4，BE=3，求AD的长.

(3)、【拓展提高】
如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC=2EF， $∠ E D F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，AE=2，DF=5，求菱形ABCD的边长.

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24. 定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.

(1)、如图1，∠E是△ABC中A的遥望角，若 $∠ A = α$ ，请用含a的代数式表示∠E.

(2)、如图2，四边形ABCD内接于⊙O， $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B D}$ ，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.

(3)、如图3，在(2)的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径.
①求∠AED的度数；

②若AB=8，CD=5，求△DEF的面积.

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	甲	乙	丙
$\bar{x}$	45	45	42
$S^{2}$	1.8	2.3	1.8